AchterOPgave 62-3
De wiskundige V.I. Arnold (1937 – 2010) heeft een boekje samengesteld met denkoefeningen en wiskundeopgaven 'voor kinderen van 5 tot 15'. Ze hebben uiteenlopende onderwerpen en moeilijkheidsgraden. De meeste ervan doen meer een beroep op goed nadenken dan op hogere wiskunde. In deze jaargang van Pythagoras plaatsen we achterop telkens één van deze opgaven.
Opgave 45
Aan een toernooi doen $n$ ploegen mee. Een ploeg die verliest valt af. Dus na $n - 1$ partijen blijft de winnaar over. Het wedstrijdschema voor vier ploegen kan worden geschreven met een symbool: $((a, (b, c)), d)$ betekent dat eerst de ploegen $b$ en $c$ tegen elkaar uitkomen, de winnaar dan tegen $a$ speelt, en de winnaar van die partij ten slotte tegen $d$. Hoeveel verschillende schema’s zijn er voor $10$ ploegen?
- Bij 2 ploegen is er alleen de mogelijkheid
$(a, b)$,
aantal = $1$. - Bij 3 ploegen zijn er de mogelijkheden
$((a, b), c)$, $((a, c), b)$, $((b, c), a)$,
aantal = $3$. - Bij 4 ploegen zijn er de volgende
aantal = $15$.$(((a, b), c), d)$ $(((a, c), b), d)$ $(((a, d), b), c)$ $(((b, c), a), d)$ $(((b, d), a), c)$ $(((c, d), a), b)$ $(((a, b), d), c)$ $(((a, c), d), b)$ $(((a, d), c), b)$ $(((b, c), d), a)$ $(((b, d), c), a)$ $(((c, d), b), a)$ $((a, b), (c, d))$ $((a, c), (b, d))$ $((a, d), (b, c))$
