Opgave 1

Anouk verstuurt dan $G_A(x)$. Met de openbare sleutel $O_A$ kan dan $x$ worden teruggevonden. Maar dan moet deze vercijferd zijn geweest met $G_A$, de geheime sleutel die alleen Anouk kent.

Als Anouk $O_B(G_A(x))$ aan Bart stuurt, dan kan alleen Bart de boodschap ontcijferen met de garantie dat Anouk deze heeft verstuurd.

Opgave 2

$1777 \cdot 4111 = 7305247$.

Opgave 3

$87^3 \equiv 84\\
87^9 = (87^3)^3 \equiv 84^3 \equiv 36\\
87^{27} = (87^9)^3 \equiv 36^3 \equiv 95\\
87^{81} = (87^{27})^3 \equiv 95^3 \equiv 87\\
87^6 = (87^3)^2 \equiv 84^2 \equiv 87\\
{\rm dus\ } 87^{87} = 87^{81} \cdot 87^6 \equiv 87 \cdot 87 \equiv 95.$

Opgave 4

Bereken

$19^{19} {\rm\ modulo\ } 1000: 19^3 \equiv 859\\
19^9 = (19^3)^3 \equiv 859^3 \equiv 779\\
19^{18} = (19^9)^2 \equiv 779^2 \equiv 841\\
{\rm dus\ }19^{19} = 19^{18} \cdot 19 \equiv 841 \cdot 19 \equiv 979.$

De laatste 3 cijfers van $19^{19}$ zijn $979$.

Opgave 5

$n =7663, \varphi(n) = 96 \cdot 78 = 7488$.

$7488 - 680 \cdot 11 = 8\\
11 - 8 = 3\\
8 - 2 \cdot 3 = 2\\
3 - 2 = 1;$

terugrekenen geeft

$1 = 3 - 2 \\
= 3 - (8 - 2 \cdot 3) = 3 \cdot 3 - 8 \\
= 3 \cdot (11 - 8) - 8 = 3 \cdot 11 - 4 \cdot 8 \\
= 3 \cdot 11 - 4 \cdot (7488 - 680 \cdot 11) \\
= 2733 \cdot 11 - 4 \cdot 7488$

dus $d = 2733$.

$1324^{2723} = 1324^{2048} \cdot 1324^{512} \cdot 1324^{128} \cdot 1324^{32} \cdot 1324^2 \cdot 1324\\ \equiv 1359 \cdot 2135 \cdot 6791 \cdot 5724 \cdot 5812 \cdot 1324 \\
\equiv 2018\ ({\rm modulo\ } 7663).$

De mededeling was $2018$.

Opgave 6

$n = 19673 = 191 \cdot 103; \varphi(n) = 190 \cdot 102 = 19380$.

$19380 - 2 \cdot 7013 = 5354\\
7013 - 5354 = 1659\\
5453 - 3 \cdot 1659 = 377\\
1659 - 4 \cdot 377 = 151\\
377 - 2 \cdot 151 = 75\\
151 - 2 \cdot 75 = 1;$

terugrekenen geeft

$1 = 151 - 2 \cdot 75 \\
= 151 - 2 \cdot (377 - 2 \cdot 151) \\
= 5 \cdot 151 - 2 \cdot 377 \\
= 5 \cdot (1659 - 4 \cdot 377) - 2 \cdot 377 \\
= 5 \cdot 1659 - 22 \cdot 377 \\
= 5 \cdot 1659 - 22 \cdot (5354 - 3 \cdot 1659) \\
= 71 \cdot 1659 - 22 \cdot 5354 \\
= 71 \cdot (7013 - 5354) - 22 \cdot 5354 \\
= 71 \cdot 7013 - 93 \cdot 5354 \\
= 71 \cdot 7013 - 93 \cdot (19380 - 2 \cdot 7013) \\
= 257 \cdot 7013 - 93 \cdot 19380,$

dus $d = 257$.

$6034^{257} = 6034^{256} \cdot 6034\\
\equiv 19527 \cdot 6034{}\\
\equiv 4321\ ({\rm modulo\ } 19673).$

De mededeling van Anouk voor Bart was dus $4321$.