Opdracht 1

In een verzameling met twee getallen is de zaak ook tamelijk eenvoudig. Een van beide getallen moet $0$ zijn, willen we gemiddelde en standaardafwijking aan elkaar gelijk krijgen. 

Na wat proberen blijkt bijvoorbeeld dat de getallen $0$ en $1$ gemiddelde $0{,}5$ hebben, maar ook standaardafwijking $0{,}5$. Beide maten zijn proportioneel, dat wil zeggen, dat als we alles $10$ keer zo groot maken, $\mu$ en $\sigma$ ook $10$ keer zo groot worden. Inderdaad hebben $0$ en $10$ gemiddelde $5$ en standaardafwijking $5$. Een wiskundig bewijs kan als volgt. 

De beide formules voor $\mu$ en $\sigma$,

$\mu = \frac{\sum x_i}{n}$ en $\sigma = \sqrt{ \frac{\sum(x_i-\mu)^2}{n}}$, en hun beider kwadraten kunnen geschreven worden als

$\mu^2 = \frac{L^2}{n^2}$ en $\sigma^2=\frac{K}{n}-\frac{L^2}{n^2}$, 

met $L$ de (lineaire) som van de getallen $\sum x_i$ en $K=\sum x^2_i$ de kwadratensom van de getallen

Gelijkstelling van $\mu$ en $\sigma$ is ook gelijkstelling van $\mu^2$ en $\sigma^2$, levert uiteindelijk

$2L^2 = Kn$

$(1)$

Stellen we voor $n = 2$ de beide getallen $a$ en $b$, dan volgt via $(1)$:

$2(a + b)^2 =(a^2 + b^2)\cdot 2$

en dus, na delen door $2$ en vereenvoudigend:

$2ab = 0$.

Minstens een van beide getallen moet dus 0 zijn.

Opdracht 2

Het is redelijk recht-toe-recht-aan te bewijzen dat als drie niet-negatieve getallen $a, b$ en $c$ hetzelfde gemiddelde en dezelfde standaardafwijking hebben, er moet gelden:

$$a^2 + b^2 + c^2 - 4ab - 4ac - 4bc = 0.$$

We beschouwen deze vergelijking als een tweedegraadsvergelijking in $a$:

$$a^2 + (-4b - 4c)\cdot a + b^2 + c^2 - 4bc = 0.$$

De twee oplossingen berekenen met de abc-formule. Daartoe bepalen we eerst de discriminant $D$:

$$D=(-4b-4c)^2 - 4\cdot 1\cdot (b^2 + c^2 - 4bc)$$

$D$ kan ook geschreven worden als:

$$D = 12(b^2+c^2 + 4bc) = 4\cdot 3\cdot (b + (2 + \sqrt3)c)\cdot(b+(2-\sqrt3)c).$$

Omdat voor gehele getallen $b$ en $c$ zowel de factor $b+(2+\sqrt3)c$ als de factor $b+(2-\sqrt3)c$ geen $3$ kan zijn, kan $D$ geen volledig kwadraat zijn, nodig om de oplossing $a$ een geheel getal te laten zijn. 

Opdracht 3

Stel de oplossing is $(1, 4, 9, x)$. Dan volgt uit $(1)$, met $ L = x + 14$ en $K =  x^2 + 98$:

$$2(x +14)^2 = (98 +x^2)\cdot 4$$

Dan geldt, na haakjes uitwerken en vereenvoudigen:

$$x^2 – 28 = 0$$

Dus $x = 0 \vee x = 28$. De tweede oplossing voor $n = 4$  met $1, 4$ en $9$ is dus $(1, 4, 9, 28)$, met $\mu = \sigma = 10{,}5$.

Opdracht 4

Het viertal $(0, 1, 4, 9)$ bestaat uit vier kwadraten: $(0^2, 1^2, 2^2, 3^2)$. Het kan bewezen worden dat elke vorm $(0^2, a^2, b^2, (a + b)^2)$ een oplossing is.

Opdracht 5

Als de oplossing $(1, 2, 3, x, y)$ is, volgt $L = x + y + 6$ en $K = x^2 + y^2 + 14$, zodat met $(1)$ moet gelden:

$2(x + y + 6)^2 = (x^2 + y^2 + 14)\cdot 5$

$(2)$

Als dan tevens $\mu = \frac{L}{n} = 10$, moet ook gelden: $x + y  = 44$. Vul daarom $y = 44 - x$ in $(2)$ in; er volgt:

$$2\cdot(50)^2 = (x^2 + x^2 - 88x + 1936+ 14)\cdot 5,$$

uiteindelijk resulterend in:

$$x^2 - 44x + 475 = 0,$$

te ontbinden in $(x - 19)(x - 25)$.

De enige oplossing is dus $(1, 2, 3, 19, 25)$.

Opdracht 6

Op eenzelfde soort manier als in opdracht 5 volgt de kwadratische vergelijking $x^2 - 33x + 540 = 0$ met de twee oplossingen $x = 15$ en $x = 18$, met $\mu=\sigma=8$ respectievelijk $8{,}5$.

Opdracht 7

Enkele oplossingen, gevolgd door $\mu=\sigma$-waarde zijn hieronder in tabelvorm gegeven.

								$ $				$n$
												$7$		$8$		$9$		$10$				$µ, σ$
$0$		$1$		$2$		$3$		$4$		$5$		$13$										$4$
$0$		$1$		$3$		$4$		$5$		$6$		$16$		$21$								$7$
$0$		$1$		$2$		$3$		$4$		$7$		$9$		$18$								$5{,}5$
$0$		$1$		$2$		$3$		$4$		$6$		$7$		$18$		$19$						$6{,}67$
$0$		$1$		$2$		$3$		$4$		$5$		$7$		$12$		$20$						$6$
$0$		$1$		$2$		$3$		$4$		$5$		$6$		$14$		$19$						$6$
$1$		$2$		$3$		$4$		$5$		$6$		$9$		$14$		$28$						$8$
$2$		$3$		$4$		$5$		$6$		$7$		$8$		$21$		$34$						$10$
$0$		$1$		$2$		$3$		$4$		$5$		$6$		$13$		$17$		$24$				$7{,}5$
$0$		$1$		$2$		$3$		$4$		$5$		$6$		$8$		$9$		$22$				$6$

Open vragen – nog niet onderzocht

1. Vermoeden: voor $n = 5$ is er geen oplossing met $0$.
2. Vermoeden: voor $n = 6$ is er geen oplossing zonder $0$.
3. Wat gebeurt er als we ook negatieve (gehele) getallen toestaan? Elk getal mag – negatief òf positief – maar één keer voorkomen: $(-1, 0, 1, 2, 3, 4)$ mag dus niet). Hoe klein kan $\mu = \sigma$ dan worden?