Met een eindeloze hoeveelheid identieke vierkanten kun je een wand naadloos en zonder overlap betegelen. Dat is duidelijk. Het lukt trouwens met élke vierhoek, en ook met elke driehoek. Maar bij veelhoeken met meer dan vier zijden ligt het anders: zodra een veelhoek meer dan zes zijden heeft, is het onmogelijk om met een serie kopieën van dezelfde veelhoek een hele wand te betegelen, zonder overlap en zonder gaten.

Van vlakvullende convexe zeshoeken bestaan er precies drie ‘families’; dat liet de Duitser Karl Reinhardt al in 1918 zien. Binnen één familie voldoen alle vormen aan een aantal voorwaarden, zoals ‘de zijden $a$ en $b$ zijn even lang’ of ‘de hoeken $A, B$ en $D$ zijn bij elkaar 360 graden’. Hoe zit het met convexe vijfhoeken? Daarover is nu duidelijkheid. Reinhardt vond vijf families vijfhoeken. Later werden nog andere vlakvullende vijfhoeken gevonden; de laatste twee jaar geleden. Het totaal kwam toen op vijftien.

De vraag was: zijn er nog meer? De Franse wiskundige Michaël Rao van het Centre National de la Recherche Scientifique in Parijs deed een groot door de computer ondersteund onderzoek. Zijn belangrijkste inzicht was dat er slechts eindig veel families van vijfhoeken (niet per se vlakvullend) bestaan; 371 om precies te zijn. Binnen elke familie voldoet elke vijfhoek aan bepaalde hoekvoorwaarden. Hij hoopte een zestiende, nog onontdekte vijfhoekige tegel te vinden die vlakvullend is. Maar die was er niet. Rao’s computer verifieerde welke vijfhoeken vlakvullend zijn, en dat bleken alleen de vijfhoeken uit de vijftien bekende families te zijn: ze zijn op deze pagina geïllustreerd.

Jammer, dat er geen nieuw exemplaar bijgeschreven kon worden? Dat valt wel mee, want een bewijs dat ze allemaal gevonden zijn, is eigenlijk belangrijker dan de ontdekking van één nieuwe, vinden veel wiskundigen. Dankzij Rao’s werk is de classificatie van vlakvullende convexe veelhoeken voltooid. En dat is heel wat waard.