Het blad Zo zit dat kreeg een vraag van de achtjarige Merle die wilde weten hoe lang de aarde zou zijn als hij $1{\rm\ mm}$ dun was. Dat kun je interpreteren als: als de aarde een bal kauwgum is en je rekt die uit tot een sliert van $1{\rm\ mm}$ dun, hoe lang is die sliert dan? Iets minder plakkerig: de aarde is een bol wol en de draad is $1{\rm\ mm}$ dun; hoe lang is die draad? 

Het volume

Voor het antwoord hebben we het volume van de aarde nodig. Dat berekenen we met behulp van de formule $V=\frac{4}{3}\pi R^3$. De straal halen we uit de omtrek: de kilometer is namelijk zó afgesproken dat de omtrek van de aardbol gelijk is aan $40\ 000{\rm\ km}$. We zien dat $R = \frac{40\ 000}{2\pi}{\rm km}$, of $R = \frac{20\ 000\ 000}{\pi}{\rm\ m}$, of $R = \frac{20\ 000\ 000\ 000}{\pi}{\rm\ mm}$. Dat laatste schrijven we beter als $\frac{2}{\pi}\times 10^{10}{\rm\ mm}$.

Het volume van de aarde wordt dan

$$V=\frac{4}{3}\pi\times\frac{2^3}{\pi^3}\times 10^{30}{\rm\ mm}^3=\frac{32}{3\pi^2}\times 10^{30}{\rm\ mm}^3.$$

Dat is afgerond $1{,}1 \times 10^{30}{\rm\ mm}^3$ (ongeveer een $1$ met dertig nullen dus).

De draad

Nu gaan de bol wol uitrollen (of het kauwgum uitrekken). De draad is rond, in feite een cilinder met een diameter van $1{\rm\ mm}$; de oppervlakte van een plak uit die cilinder is dus $\frac{4}{\pi}{\rm\ mm}^2$. We moeten het volume van de aarde door die oppervlakte delen om de lengte van de draad te krijgen; dat betekent dus het volume met $\frac{4}{\pi}$ vermenigvuldigen, en dat geeft

$$\frac{4}{\pi}\times\frac{32}{3\pi^2}\times 10^{30} = \frac{128}{3\pi^3}\times 10^{30}{\rm\ mm}.$$

En dat is, afgerond, $1{,}4 \times 10^{24}{\rm\ km}$. Hoe groot is dat? Heel erg groot. Een lichtjaar is een afstand van $9{,}45 \times 10^{12}{\rm\ km}$; daar maken we voor het gemak maar $10^{13}$ van. Dat betekent dat onze wollen draad ongeveer $1{,}4 \times 10^{11}$ lichtjaren lang is. Dat kun je ook uitdrukken als $140$ miljard lichtjaren; dat is drie keer zo groot als de straal van het huidige waarneembare universum ($45$ miljard lichtjaren). Al die (radio)telescopen waar astronomen de ruimte mee onderzoeken zouden het grootste gedeelte van onze draad niet eens opmerken.

Pannenkoek

Er is een aardige variant op de vraag: wat als we de aarde vullen met beslag en daar een pannenkoek van $1{\rm\ mm}$ dik van maken? Wat is de oppervlakte, $O$, van die pannenkoek? Omdat we het volume door $1{\rm\ mm}$ delen houden we hetzelfde getal, maar nu in ${\rm mm}^2$: 

$$O=\frac{32}{3\pi^2}\times 10^{30}{\rm\ mm}^2.$$

Hoeveel is dat in vierkante (kilo)meters? Wel, $1{\rm\ m} = 1000{\rm\ mm}$, dus $1{\rm\ m}^2 = 1\ 000\ 000{\rm\ mm}^2 = 10^6{\rm\ mm}^2$. Dus

$$O=\frac{32}{3\pi^2}\times 10^{24}{\rm\ m}^2$$

en het aantal vierkante kilometers krijgen we door nog zes nullen weg te halen:

$$O=\frac{32}{3\pi^2}\times 10^{18}{\rm\ km}^2\approx 1{,}\times 10^{18}{\rm\ km}^2.$$

Als we een mooie ronde pannenkoek willen maken moeten we daarvan de straal $r$ even bepalen via $\pi r^2=\frac{32}{3\pi^2}\times 10^{18}$ of $r^2=\frac{32}{3\pi^3}\times 10^{18}.$

Dus $r=\sqrt{\frac{32}{3\pi^3}}\times 10^9{\rm\ km}$, dat is afgerond $0{,}6 \times 10^9{\rm\ km}$; in woorden: zeshonderdmiljoen kilometer.

Hoe groot is dat? Als we de zon in het midden van de pannenkoek leggen kunnen we de baan van Mars nog in stroop op de pannenkoek tekenen; daar ligt nog vrij veel pannenkoek buiten want de (gemiddelde) afstand van de zon tot Mars is ongeveer $250$ miljoen kilometer. De baan van Jupiter is te groot: gemiddeld $750$ miljoen kilometer.

 

Opgave Bepaal wat er gebeurt als je de draad een diameter van $1{\rm\ cm}$ geeft en de pannenkoek $1{\rm\ cm}$ dik maakt. Idem voor $10{\rm\ cm}$ of een meter.  Zie je het verband tussen de dikte en de resulterende lengten en oppervlakten?