De cycloïde is een kromme met veel eigenschappen. Hij verschijnt bij spirografentekeningen en als de baan van een punt op een fietsband. Als je een knikkerbaan wil construeren waarbij de knikker zo snel mogelijk van het ene naar het andere punt rolt, blijkt dit ook een cycloïde te zijn. In een tweedelige serie zullen we de cycloïde beschrijven en zijn basiseigenschappen analyseren.
Stel, je hebt een punt op de buitenkant van een fietswiel gemarkeerd. Als je gaat fietsen, welke baan beschrijft dit punt dan? Je ziet de baan in figuur 1. De kromme die door het fietsen ontstaat, heet cycloïde.
Figuur 1: De cyloïde, oftewel: wielkromme
Je ziet het punt $S$ starten in de oorsprong. De straal van het wiel noemen we $r$. De snelheid van de fiets, in meter per seconde, noemen we $v$. De spaak $MS$ van het wiel draait dan met een hoeksnelheid van $ω = v/r$ (radialen per seconde; 360$^\circ$= 2$\pi$ rad). Als je het wiel op één plek laat draaien, is de snelheid van $S$ gelijk aan $v = ωr$. Bij de rijdende fiets neemt beginpunt $S$ deel aan twee snelheden: een van $v$ naar rechts, de voorwaartse snelheid van de fiets, en een van het draaiende wiel, een snelheid van $v$ naar achteren. Punt $S$ staat dus even stil, terwijl de fiets rijdt. Er geldt natuurlijk ook: $v = 2\pi r/T$, met $T$ de tijd van een hele omwenteling. Na $T/2$ is punt $S$ aan gekomen in $S_1$ en heeft daar een snelheid $2v$. Na een volledige omwenteling is $S$ aangekomen in punt $S_2$ en heeft dan weer een snelheid 0.
Het is niet mogelijk om de formule voor de cycloïde met een functie $y = f(x)$ aan te geven. Wel kunnen we een zogeheten parametervorm gebruiken. We nemen als parameter de hoek α waarover de spaak $MS$ draait:
$$x_α = r(α − \sin α)$$
$$y_α = r(1 − \cos α)$$
Op het moment dat $S$ in de oorsprong is (dus op tijdstip $t = 0$), is $α = 0$. Willen we in plaats van $α$ de tijd $t$ als parameter nemen, dan nemen we $α = 2\pi t/T$. Door wat waarden in te vullen, krijg je vanzelf een beter inzicht in het draaiende wiel. Je ziet dat de cycloïde wel iets van een stuk van een cirkel weg heeft. De naam cycloïde komt dan ook van het Griekse woord ‘kuklos’, cirkel. Het hele woord betekent ‘lijkend op een cirkel’.
De cycloïde met haar eigenschappen is al eens in Pythagoras beschreven door Klaas Pieter Hart (‘De cycloïde’, Pythagoras 39-4, april 2000). Eén van die eigenschappen is de volgende. Neem een gladde metalen draad die twee punten $A$ en $B$ die schuin onder elkaar liggen met elkaar verbindt. Laat een kraal wrijvingsloos van $A$ naar $B$ glijden. De vraag is: wat moet de vorm van de metalen draad zijn, om ervoor te zorgen dat de tijd van $A$ naar $B$ minimaal is?
Het gekke is, dat dat niet de kortste draad is (een rechte lijn), maar één die eerst steiler naar beneden gaat om snelheid te maken en dan afbuigt naar $B$. Wat blijkt? Het is een stuk van een cycloïde! Als je de grafiek in figuur 1 om de $x$-as klapt, dan is de vorm van die cycloïde van $O$ naar $S_1$ de vorm die voor de kortste tijd zorgt. In kader 1 kun je lezen waarom een omweg eigenlijk een kortere tijd oplevert.
Kader 1: Een lichtstraal volgt de weg met de kortste tijd
In de natuurkunde heb je bij lichtstralen die van $A$ naar $B$ gaan het zogenaamde ‘principe van Fermat’, dat zegt dat een lichtstraal de weg met de kortste tijd neemt om van $A$ naar $B$ te komen. Natuurlijk is het niet zo dat een lichtstraal in $A$ eerst even nadenkt waar hij heen wil en dan een speciale weg kiest. Een lichtbron zendt naar alle richtingen vanuit $A$ licht uit. Een uiterst smal bundeltje hiervan bereikt $B$ en dan blijkt dat dat bundeltje precies de weg met de kortste tijd heeft genomen. We bekijken dit aan de hand van breking van het licht aan het grensvlak van twee media (bijvoorbeeld glas en lucht of lucht en water). Het feit dat de snelheid van het licht afhankelijk is van het medium zorgt ervoor dat de lichtstraal gebroken wordt aan het grensvlak. Zie figuur 2 voor twee brekingen achter elkaar, met de hoeken van inval $i$ en breking $r$.
Bij de brekingen geldt de wet van Snellius. Snellius (1580-1626) ontdekte experimenteel dat bij de brekingen van de lichtstraal op weg van $A$ naar $B$ geldt:
$$\frac{\sin i_1}{\sin i_2} = \frac{v_1}{v_2}.$$
Bij de eerste breking is $i_1$ de hoek van inval en $i_2$ de hoek van breking; merk op dat de hoek van inval bij de tweede breking gelijk is aan de hoek van breking bij de eerste breking). Snellius ontdekte dat het linkerlid constant is. Later bleek dat het de verhouding van de lichtsnelheden is.
Iets anders geschreven hebben we een soort van behoudswet (een grootheid die in elk medium dezelfde waarde heeft):
Als we eens heel veel dunne laagjes hebben met elk een eigen snelheid van het licht (dat komt bijvoorbeeld voor bij luchtlagen waarin de temperatuur van laag naar hoog langzaam verandert), dan geldt op elk punt dus:
$$\frac{\sin i}{v} = constant.$$
We zullen deze behoudswet gebruiken bij het bewijs dat de cycloïde de weg van de kortste glijtijd geeft. Als je wilt weten hoe je uit het principe van Fermat bij breking de wet van Snellius afleidt, lees dan het artikel ‘De Wet van Snellius’ in Pythagoras 43-4 (februari 2004). Wil je echt precies begrijpen hoe de breking in z’n werk gaat, dan zul je de natuurkunde achter de breking moeten begrijpen. Daar gaan wij hier niet op in.
Figuur 2: De wet van Snellius
De cycloïde is de kromme met de kortste glijtijd, de brachistochroon. We gaan nu aantonen dat voor de cycloïde waarlangs een kraal naar beneden glijdt de wet uit kader 1 geldt. ‘Brachistos’ is weer een Grieks woord, de overtreffende trap van ‘brachus’, dat ‘kort’ betekent. En ‘chronos’ betekent ‘tijd’. Laten we eerst eens kijken naar de omgekeerde cycloïde in figuur 3, waarbij $r = 1$. Controleer dat de volgende parametervorm de juiste is:
$$x_α = α − \sin α$$
$$y_α = 1 + \cos α$$
Figuur 3: De wielkromme tegen het plafond
We nemen in gedachten een metalen draad van beginpunt $K(0, 2)$, volgens de cycloïde verbonden met punt $K_2(\pi, 0)$. De cycloïde wordt beschreven in figuur 3 door een wiel (de getekende cirkels met straal 1) dat aan het plafond naar rechts loopt. Als het middelpunt $M$ van het wiel van $M$ naar $M_1$ is gegaan, is de spaak $MK$ gedraaid naar $M_1K_1$ over een hoek $α$. Merk op dat de boog $K_1A$ in lengte gelijk is aan $MM_1$, omdat het wiel zonder te glijden langs het plafond rolt. En stel je nu eens voor dat een kraaltje om de metalen draad wrijvingsloos van $K$ naar beneden glijdt naar het laagste punt $K_2$. Hoe snel gaat dat kraaltje dan op elk punt? Het zal natuurlijk steeds sneller gaan. We bestuderen dit precies in kader 2, maar je voelt misschien nu wel aankomen dat de snelheid van het kraaltje overeenkomt met de snelheid van de lichtstraal in kader 1. En die kreeg voor de kortste tijd bij grotere snelheden ook een afbuiging die al een beetje lijkt op die van de cycloïde.
Kader 2: De eenparig versnelde beweging en de snelheid van een vallend voorwerp
Bij het onderdeel mechanica van de natuurkunde heb je voor de eenparige beweging (constante snelheid $v$) voor de plaats $x(t)$ op tijdstip $t$ ($x_0$ is de plaats op $t = 0$): $$x(t) = x_0 + vt.$$
Een eenparig versnelde beweging heeft onder invloed van een constante kracht een constante versnelling a (een vaste toename van de snelheid per seconde). Voor de snelheid op tijdstip $t$ geldt: $v(t) = v_0 + at.$ Hierbij is $v_0$ de snelheid op $t = 0.$ De gemiddelde snelheid $v_{gem}$ over de tijd $t$ is $v_{gem} = v_0 + \frac{1}{2}at$. De formule voor de plaats $x(t)$ is dan
Als een voorwerp onder invloed van de zwaartekracht vrij valt, dan heeft het een versnelling $g ≈ 10 m/s^2$ (de snelheid neemt elke seconde toe met 10 meter per seconde). Laten we eens een kraal wrijvingsloos langs een verticale rechte draad vallen over een hoogte $h$. Als beginsnelheid nemen we 0. Na t seconden is de snelheid $v(t) = gt$.
Hoe groot is nu de valhoogte $h$ in die tijd? De gemiddelde snelheid over de tijd $t$ is dan $v_{gem} = \frac{1}{2} gt$.
Voor de valhoogte $h$ geldt dan: $$h(t) = v_{gem}t = \frac{1}{2} gt^2.$$
Als we nu de tijd $t$ elimineren uit deze twee vergelijkingen, dan krijgen we het verband tussen de snelheid $v$ en de valhoogte $h$:
$$v = \sqrt{2gh}.$$
Deze formule geldt ook als de kraal schuin, maar wel wrijvingsloos, beweegt. Kijk daarvoor in figuur 4. Uiteindelijk geldt het ook voor een kromme, die je opgedeeld kunt denken in zeer veel kleine stukjes.
Figuur 4: Stel, een punt beweegt onder invloed van de zwaartekracht langs $AB$ met snelheid $v(t)$. De zwaartekrachtversnelling in de richting van $AB$ is dan gelijk aan $g’ = g \cos γ$, want de driehoeken $ABC$ en $PQR$ zijn gelijkvormig. De verticale verplaatsing $h$ is gelijk aan $h’ = h / \cos γ$. Uit $h’ = g’ t^2 / 2$ en $v(t) = g’t$ volgt weer dat $v = \sqrt{2gh}$.
Brachistochroon van Bernoulli
De Zwitserse wiskundige Johann Bernoulli (1667- 1748) verzocht zijn medewiskundigen in 1696 de kromme van de kortste tijd te vinden. Hij had het zelf ook al opgelost en kreeg vijf oplossingen toegestuurd. Wij weten al dat de oplossing een cycloïde is. Om echt aan te tonen dat dat de juiste kromme is, beschouwen we de bewegende kraal als een lichtstraal. De richting van de cycloïde is dan de richting van de lichtstraal. Dat geeft ons dan de hoek van inval. We weten ook wat de snelheid in elk punt is. Dus als we nu kunnen aantonen dat de behoudswet die we in kader 1 hebben bewezen in elk punt van de baan geldt, dan zijn we klaar. Dus: heeft in elk punt $\sin(i)/v$ dezelfde waarde?
We gaan eerst de snelheid van de kraal in het willekeurige punt $K_1$ van de baan berekenen (zie figuur 3). De spaak $MK$ is over een hoek α gedraaid naar $M_1K_1$. Nu ligt $K_1$ iets hoger dan $M_1$. Er geldt $M_1A = AK_1 = r$, de straal van het draaiende wiel. Tijdens het glijden is er natuurlijk geen draaiend wiel. Dat gebruiken we alleen om de cycloïde vast te leggen. De hoogte $h$ waarover de kraal van $K$ naar $K_1$ gedaald is, is dan
$$h = r – r \cos α = 2r \sin^2(α/2).$$
Hierbij hebben we gebruikgemaakt van de goniometrische formule
Voor de snelheid in $K_1$ hebben we dan met het resultaat uit kader 2:
$$v = 2 \sqrt{gr} \sin(α/2).$$
Maar nu moeten we nog de ‘hoek van inval’ vinden. Dat is natuurlijk de hoek die de richting van de cycloïde in $K_1$ maakt met de verticaal. Daarvoor kijken we naar figuur 5. We hebben voor het gemak $K_1M_1$ horizontaal verschoven naar $K_1'M_1'$. De snelheid van de kraal in $K_1'$ is de som van twee vectoren: de horizontale vector $v_0 = K_1'Q$ en $v_0 = K_1'P$. De grootheid $v_0$ geeft aan met welke snelheid het wiel aan het plafond voortbeweegt en draait. De grootte maakt voor het verkrijgen van de cycloïde natuurlijk niet uit. De vectorsom $K_1'R$ geeft de richting aan van de echte snelheid van de glijdende kraal. En daar gaat het nu om. Het is de diagonaal in een ruit. In de eerste plaats geldt $\angle PK_1'Q = π - α.$ Dan geldt vanwege de gelijkbenigheid van $ΔPK_1'Q$ dat $\angle K_1'QP = α/2$. Je ziet dan voor de hoek van inval: $i = 90^\circ – \angle QK_1'R = α/2$.
Figuur 5: De constructie van de snelheid. Merk
op dat $K_1’P = K_1’Q$, dus $K_1’PRQ$ is een ruit.
Ten slotte concluderen we met de formule voor $v$:
