De zeventiende-eeuwse wiskundige en filosoof Thomas Hobbes vond algebra vergelijkbaar met naar de wc gaan. Algebra is iets wat je alleen achter een gesloten deur mag doen, en zeker niet in het openbaar: dat zou smakeloos en walgelijk zijn. Hobbes’ voorkeur ging duidelijk uit naar de meetkunde.

Sommige dingen kun je zowel algebraïsch als meetkundig aanpakken. Dat geldt bijvoorbeeld voor het vinden van de raaklijn in een punt aan een parabool. Hobbes vond vast dat je de algebraïsche methode kunt gebruiken om de meetkundige oplossing te ontdekken, maar vervolgens dient alleen de meetkundige aan andere mensen te worden getoond.

Meetkundig is de parabool de verzameling punten die even ver van een punt $F$ als van een rechte lijn $l$ afliggen (zie figuur 1). Het punt $F$ noemen we het brandpunt van de parabool en de lijn $l$ de richtlijn. De lijn loodrecht op de richtlijn door $F$ heet de as.

Er is een eenvoudige manier om in een gegeven punt $P$ op deze parabool een raaklijn te tekenen (zie figuur 2). Teken een rechte door de top van de parabool, loodrecht op de as. Meet de afstand van $P$ tot deze rechte en teken het punt $X$ op de as met dezelfde afstand tot de top. De lijn door $P$ en $X$ is de raaklijn.

In het kader hieronder kun je zien waarom deze constructie correct is.

Voor de algebraísche methode stellen we de parabool voor als grafiek van de formule $y = px^2$. Dat deze algebra.sche definitie op hetzelfde neerkomt als de meetkundige, blijkt uit figuur 4. Neem de $x$-as door $TY$, de oorsprong in $T$, de $y$-as door $TF, x = TY$ en $y = YP$. Noem $a = FT = YV$. Dan geldt $FP^2 = PV^2$, ofwel $x^2 + (y – a)^2 = (y + a)^2$. Hieruit volgt dat $y = x^2/(4a)$.

We bepalen nu de formule van de raaklijn $y = rx + s$ door eerst de richtingsco.ffici.nt van deze raaklijn te berekenen met behulp van differentiëren van de functie $f(x) = px^2$. We weten dat de waarde van de afgeleide functie $f'(x)$ van $f(x)$ in het punt $(a, pa^2)$ – dus $f'(a)$ – de richtingsco.ffici.nt van de raaklijn in dat punt aan de grafiek is. Nu is de afgeleide functie van een kwadratische functie heel gemakkelijk: $f(x) = px^2$ heeft afgeleide $f'(x)= 2px$.

Voor de richtingscoëfficiënt $r$ van de raaklijn in $(a, pa^2)$ hebben we dan $r = 2pa$. Om $s$ te bepalen, moeten we eisen dat het punt $(a, pa^2)$ op de raaklijn ligt:

$$pa^2 = 2pa \cdot a + s,$$ ofwel $$s = –pa^2.$$ De vergelijking van de raaklijn is dan $$y = 2pax – pa^2.$$

Nu zie je nog eens algebra.sch waarom de constructie in de meetkundige aanpak juist is, want het punt $(0, –pa^2)$ ligt op de raaklijn.

Als je dit eenmaal weet, is de meetkundige constructie van de raaklijn in een punt toch wel veel  eleganter. Het is een directe manier met een eenvoudig recept van hoe je een raaklijn tekent.

Bij de algebraïsche manier heb je een speciale ‘taal’ nodig om de berekening uit te voeren. En zelfs, als je de vergelijking echt hebt, ben je nog helemaal niet klaar, als je de raaklijn ook echt wilt tekenen: je moet uit die vergelijking nog de concrete instructies voor het tekenen afleiden.

Stelling 1. De raaklijn aan een parabool in het punt $P$ is de middelloodlijn van het brandpunt $F$ en voetpunt $V$ van het punt $P$.

Bewijs. Zie figuur 3. We nemen een punt $P$ op de parabool. Voor $P$ geldt per definitie dat $PF = PV$. Teken de middelloodlijn van $F$ en het voetpunt $V$ van $P$. Neem een punt $Q$ ongelijk aan $P$ op deze middelloodlijn. Omdat $Q$ op de middelloodlijn van $F$ en $V$ ligt, is $FQ = QV$. Met Pythagoras geldt $QV > QW$. Dus $FQ > QW$. Maar dan kan $Q$ niet op de parabool liggen. De middelloodlijn moet een raaklijn zijn. (De enige lijn die één snijpunt heeft met de parabool en niet raakt, is evenwijdig aan de as van de parabool. Dat is hier niet zo.)

Stelling 2. De lijn door $X$ en $P$ in de constructie is de raaklijn aan de parabool in $P$.

Bewijs. Zie figuur 4. Teken het brandpunt $F$, de richtlijn $l$, en verleng de lijnstukken $XT$ tot $XF$ en $PY$ tot $PV$. Er geldt $PF = PV$, want $P$ ligt op de parabool. Verder is $VY = FT$, want de afstand van de richtlijn tot de top is gelijk aan de afstand van de top naar het brandpunt. Hieruit volgt dat $XF = PV$. De lijnstukken $FX$ en $PV$ zijn evenwijdig en $FX = FP = PV$. Hieruit volgt met congruentie dat $FPVX$ een ruit is. De diagonalen van een ruit snijden elkaar loodrecht in het midden. We concluderen dat $XP$ de middelloodlijn is van $FV$.

Johann Bernoulli

Hobbes mag dan een hekel aan algebra hebben gehad, toch hadden de algebraïsche methodes – die in zijn tijd nieuw waren – ook hun voordelen. Zij waren meer systematisch en daarom erg efficiënt. De meetkundige methodes gaven wel mooie eindantwoorden maar zij vereisten ook dat je bij elke kromme weer opnieuw slim genoeg was om de raaklijn te vinden. Met de algebraïsche methodes kon je raaklijnen berekenen, bijna zonder na te denken. Als je eenmaal de regels beheerste, ging het automatisch, steeds met dezelfde voorspelbare stapjes. Dat was een groot voordeel bij meer en meer ingewikkelde krommen.

Dit conflict zie je terug in de werken van Johann Bernoulli. Hij was een van de belangrijkste wiskundigen rond 1700. Hij kwam uit Basel in Zwitserland, en heeft tien jaar gewerkt als hoogleraar wiskunde in Groningen. Tijdens die jaren heeft hij de kromme $y = x^x$ bestudeerd. De grafiek hiervan zie je in figuur 5.

In Bernoulli’s tijd had je uiteraard geen rekenmachines of computers die deze kromme konden tekenen. En niemand vóór Bernoulli had deze functie echt bestudeerd. Dus Bernoulli voelde dat zijn eerste stapjes zouden moeten zijn om meetkundig zin te geven aan $y = x^x$ voordat hij er verder iets mee deed.

Hij deed dit door een verband te leggen met de exponentiële functie $y = e^x$, die wat meer bekend was. Ook deze functie werd niet gezien als gegeven door haar formule maar eerder door een bepaalde meetkundige eigenschap, namelijk dat de grafiek een constante ‘subtangent’ had. De subtangent (of letterlijk ‘onderraaklijn’) van een punt van de kromme is het deel (aangegeven met σ) van het lijnstuk tussen het snijpunt van de raaklijn met de $x$-as en de loodrechte projectie op de $x$-as.

In figuur 6 zie je de grafiek van $y = e^x$. In twee punten ($R$ en $S$) zijn de raaklijnen getekend. De subtangenten van $R$ en $S$ zijn per definitie de lijnstukken $AO$ en $BC$. Het punt $B$ is het snijpunt met de $x$-as van de raaklijn in $S$ en het punt $C$ op de $x$-as heeft dezelfde $x$-coördinaat als het raakpunt. Voor AO geldt natuurlijk hetzelfde. Je ziet dat in beide gevallen σ = 1.

We zien dat $y/σ$ de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt is en we weten dat de afgeleide $dy/dx$ dat ook is. Dus hebben we de gelijkheid $y/σ = dy/dx$. Als de subtangent constant is – we nemen voor het gemak $σ = 1$ – dan krijgen we dus $y = dy/dx$, ofwel: de functie is gelijk aan zijn eigen afgeleide. Dit herkennen we als een eigenschap van $y = e^x$. Bernoulli kon wel afgeleiden begrijpen, maar toch vond hij de beschrijving in termen van de constante subtangent beter: het is iets meetkundigs wat je direct in je plaatje kunt zien, en vereist geen abstracte algebraïsche taal.

Als je de kromme $y = e^x$ kunt tekenen, dan kun je $y = ln(x)$ ook tekenen, want dat is gewoon de spiegeling van $y = e^x$ in de lijn $y = x$ (zie figuur 7).

In de zeventiende eeuw werd geen verschil gemaakt tussen deze twee krommen: ze zijn alleen anders geplaatst ten opzichte van het co.rdinatenstelsel.

Pas wanneer je in termen van functies en formules in plaats van meetkunde begint te denken, ontstaat er een verschil tussen de twee. Bernoulli, die nog steeds een meetkundig denker was, noemde de krommen allebei gewoon een logarithmica.

$x^x$ met passer en liniaal

Stel je voor dat je de grafiek van $g(x) = ln(x)$ al hebt; noem die kromme, in de geest van Bernoulli, de logarithmica. Hoe kun je dan de grafiek van $f(x) = x^x$ daaruit opbouwen? Bernoulli geeft het volgende recept. In figuur 8 kun je de stapjes volgen.

Kies een willekeurig punt $A(x, 0)$ op de $x$-as; in figuur 8 hebben we $A(2, 0)$ genomen. Vind de $y$-waarde van de logarithmica die daarbij hoort (dus $AB = ln(x)$) en vermenigvuldig die met $x$ (dus $x \cdot ln(x)$). Vind het punt op de $y$-as met deze waarde als $y$-coördinaat ($C$), trek een horizontale lijn erdoor en vind de $x$-waarde $f$ van het punt ($D$) waar die lijn de logarithmica snijdt (dus $ln(f) = x \cdot ln(x)$, ofwel $f(x) = e^{x \cdot ln(x)} = (e^{ln (x^x)} = x^x)$. Teken dan een loodlijn vanuit het oorspronkelijke punt $A$ op de $x$-as met hoogte $f$ (dus het punt $H(x, x^x)$), ofwel een punt op de grafiek van $f(x) = x^x$). Herhaal de constructie voor andere beginpunten op de $x$-as. Zo krijg je meer en meer punten op de gezochte kromme. De kromme is rood getekend.

Bernoulli gaf deze constructie zonder de algebra die ik tussen haakjes heb toegevoegd. Op deze manier heeft hij dus een puur meetkundig recept gegeven van hoe je $y = x^x$ kunt krijgen vanuit een gegeven logarithmica.

Als je met de grafiek van $g(x) = ln(x)$ begint, kun je inderdaad door deze stapjes uit te voeren de grafiek van $f(x) = x^x$ tekenen met alleen een passer en een liniaal. Bernoulli kende de algebra erachter wel, maar hij vond toch dat je uiteindelijk de algebra ‘kwijt’ moest raken om je oplossing zo goed mogelijk te kunnen doorgeven, net als in het voorbeeld van de parabool waarmee we begonnen. Aan de andere kant bevat de meetkundige constructie toch een vermenigvuldiging (zoals $x \cdot ln(x)$); dit kan bijvoorbeeld op de manier zoals figuur 9 laat zien.

Ergens lijkt het alsof de meetkunde een beetje absurd is geworden. Vanuit het voorbeeld van de parabool en het feit dat de logarithmica al bekend was, kunnen we echter wel begrijpen hoe de constructie van Bernoulli in een zekere traditie past. Deze traditie bereikt hier zijn grens. Het is niet meer erg zinvol om iets wat eigenlijk algebra is, onder de noemer meetkunde te scharen.