Stel je voor: je bent kapitein op een schip met vier andere piraten en je vindt $100$ goudstukken. Volgens de piratencode moet je deze met je maatjes op het schip verdelen. De kapitein (laten we deze voor het gemak piraat $A$ noemen en de anderen piraat $B, C, D$ en $E$) moet een mooi en goed voorstel doen voor de verdeling van de buit. Is de meerderheid het met dit voorstel eens, dan zal het aangenomen worden en zal het goud verdeeld worden. Indien er een gelijkspel is bij het stemmen, zal het ook volgens de wensen van de kapitein verdeeld worden. Als een meerderheid tegen stemt, wordt hij overboord gegooid en zal de volgende piraat (voor het gemak piraat $B)$ de nieuwe kapitein worden. Die zal een nieuw voorstel doen en dit gaat door tot er een voorstel geaccepteerd wordt of tot de laatste piraat overblijft.

Nu weten de piraten van elkaar dat ze allemaal enorm goed zijn in logisch redeneren en dat ze goede rekenaars zijn. Op het moment dat een piraat doorheeft dat hij er meer uit kan halen dan wat hij nu krijgt, zal hij te allen tijde nee (op zijn piraats “NAR!”) zeggen.

Ook is het belangrijk om te vermelden dat iedere piraat het liefst in leven blijft, dat ze allemaal als doel hebben om zo veel mogelijk geld krijgen en dat ze niet mogen overleggen of dealtjes mogen sluiten.

De vraag luidt: Wat moet kapitein $A$ voorstellen, zodat hij zoveel mogelijk goudstukken krijgt en in leven blijft?

Een bijzonder mooi probleem, waarbij het antwoord behoorlijk wat beredenering vraagt.

Spoiler: ik ga hieronder bespreken wat het antwoord van het probleem is. Lees pas verder als je het antwoord denkt te weten.

Je zal denken dat de laatste piraat altijd “NAR!” zal roepen, zodat hij alles krijgt, maar zo makkelijk is dit probleem niet. Laten we eens kijken naar dit scenario. Bij een gelijkspel zal de verdeling volgens het voorstel van degene die dan kapitein is gaan. Als er aan het einde van de rit dus nog maar twee piraten zijn, krijgt piraat $D$, dan kapitein, zelf alle munten en zal de ander, piraat $ E$, met niks weggaan. Deze redenatie biedt enorm veel mooie wiskundige concepten. Soms is het beginnen bij een klein scenario de oplossing voor het grote probleem. Daarna kun je het scenario steeds groter maken door een piraat aan het probleem toe te voegen. Een piraat kan nooit alleen over zijn, bij twee piraten krijgt piraat $D$ alles en piraat $E$ niks, maar wat nou als er drie zijn? Wat moet die derde piraat (die dan kapitein is) voorstellen om een meerderheid van de stemmen te krijgen?

Laten we het scenario met drie piraten nu eens onder de loep nemen. De kapitein, nu piraat $C$, moet er dus voor zorgen dat piraat $E$, met hem meegaat. Piraat $D$ heeft er immers voordeel bij wanneer Piraat $C $ het loodje legt. Leuk, een nieuw probleem! Piraat $C$ wil er namelijk zo veel mogelijk gouden munten uithalen. Dus: $50$ voor hem en $50$ voor piraat $E$ is geen optie. Na lang denken roept er meestal wel iemand: “Piraat $E$ is met $1$ goudstuk al beter af dan in de eerder scenario's, dus zal altijd JAR roepen als piraat $C$ hem iets gunt. Piraat $D $ krijgt niks.’’ Door dit scenario middels redeneren op te lossen, is het probleem al voor $ 80\%$ opgelost. Let maar op!

Nu komt er nog Piraat $B$ erbij. Die is nu kapitein. Als hij één andere piraat kan overtuigen, zijn er net zo veel piraten voor als tegen. Dan hoeft hij niet de plank af en neemt op de koop toe wat goudmunten mee. Hij weet, doordat hij perfect kan redeneren, dat als hij geëlimineerd wordt, piraat $D$ niks krijgt van piraat $C$. Piraat $C $ zou in dat scenario immers kapitein zijn. Je ziet al snel in dat piraat $B$ $99$ goudstukken voor zichzelf kan houden, want piraat $D$ is met $1$ goudstuk al tevreden. Die stemt dan ja, want anders krijgt hij helemaal geen gouden munten. Piraat $C$ en $E$ krijgen in dit geval niks!

Ja, nu piraat $A$. Hier ging het aanvankelijk om. Die weet dat hij $C$ en $E$ over moet halen. Als piraat $B$ aan het roer komt, krijgen zij immers geen enkel muntstuk. Piraat $A$ houdt er dan $98$, waardoor $C$ en $E $ er allebei één krijgen, en dus stemmen die dan “JAR!”. In principe herhaal je telkens dezelfde denkstappen, maar moet je terugredeneren vanuit een situatie met twee piraten.

Hé, eindelijk een oplossing. Laten we dit nu eens doen met oneindig veel munten en oneindig veel piraten, of was dit al moeilijk genoeg?