Kleintje - Hogere machten

Kleintje - Hogere machten

Hoeveel cijfers heeft $2^{2^{79685186856218}}$ ongeveer?

Dat kun je snel schatten met behulp van de logaritme van $2.$

Om te beginnen: $2^10 = 1024,$ dus er geldt een bijna-gelijkheid:

$$2^{10} = 10^3$$

hieruit volgt een snelle schatting van $\log 2,$ namelijk $\log 2 \approx \frac{3}{10}$ (de echte waarde begint met $0{,}3010\dots).$

Hiermee zie je dat $$\log2^n = n\cdot\log2\approx\frac{3n}{10}.$$

Maar dat betekent dat $2^n$ ongeveer $\frac{3n}{10}$ (decimale) cijfers heeft, en ook dat $$2^n\approx10^{\frac{3n}{10}}.$$

Voor $2^{2^n}$ krijgen we dan ongeveer $\frac3{10}\cdot2^n$ cijfers en daar kunnen we dan $\frac3{10}\cdot10^{\frac{3n}{10}}$ van maken.

Toegepast op het getal aan het begin: schrijf $n = 79685186856218$ even als $0{,}79685186856218 \cdot 10^{14},$ dan is $\frac{3n}{10}$ gelijk aan $0{,}239055560568654 \cdot 10^{13},$ afgerond $0{,}24 \cdot 10^{13}.$

Dat betekent dat $2^{2^{79685186856218}}$ ongeveer

$$\frac3{10}\cdot 10^{0{,}24\cdot10^{13}}$$

cijfers heeft.