Met gelijkzijdige congruente driehoeken zijn Borromeaanse drietallen te maken, maar die zijn niet altijd stabiel. Zeker niet bij staafjes met een cirkelvormige doorsnede (figuur 1). De rode, zwarte en oranje driehoek vormen een Borromeaans drietal. Om die mooi stabiel te laten staan is een vierde ongekleurde gelijkzijdige driehoek nodig die congruent is met de andere drie. Gek genoeg is die nergens mee verbonden, maar houdt de drie andere driehoeken wel bij elkaar zodat ze stabiel in elkaar gehaakt blijven staan. Bij de zeer dunne metalen stroken die Jan Marcus gebruikte geldt hetzelfde (figuur 2). Ook daar is een vierde driehoek nodig om het Borromeaanse drietal stabiel bij elkaar te houden die niet met een van de andere driehoeken is verbonden. Vergeleken met figuur 1 staat figuur 2 op z'n kop.

Door iets dikkere latjes te gebruiken kunnen de driehoeken wel zo in elkaar worden geklemd dat een stevig en stabiel Borromeaans drietal ontstaat (figuur 3) zonder de driehoeken onderling aan elkaar te lijmen. Dat kan zelfs op twee manieren (figuur 4). In beide drietallen hebben daar de beige en zwarte driehoek dezelfde stand, maar de rode en de licht blauwe zitten daar anders ingeklemd.

Bij het linker drietal van figuur 4 past op de omhoogstekende hoekpunten van de rode, beige en zwarte driehoek precies zo'n zelfde congruente gelijkzijdige oranje driehoek (figuren 5 en 6).

Vaste verhouding

Denk niet dat je met zomaar drie willekeurige even grote gelijkzijdige driehoeken een stabiel Borromeaans drietal kunt maken. Het gaat alleen maar goed bij een vaste verhouding tussen diameter en maximale lengte in geval van ronde staafjes of tussen breedte en maximale lengte bij gebruik van latjes. In dat laatste geval speelt ook de dikte van de latjes nog een rol.

Vier-, vijf- en zeshoeken

Ook met vierkanten, regelmatige vijfhoeken en regelmatige zeshoeken zijn Borromeaanse drietallen mogelijk. In figuur 7 zijn de drie vierkanten gemaakt van staafjes met cirkelvormige doorsnede. In figuur 8 zijn twee keer latjes van dezelfde dikte gebruikt, maar bij het linker drietal waren de latjes tweemaal zo breed. Ook hier hebben maximale lengte van de latjes en de breedte eenzelfde verhouding. Dat maakt het verschil in afmetingen tussen de beide drietallen.

Net als bij driehoeken en vierkanten is met regelmatige vijfhoeken (figuur 9) en regelmatige zeshoeken (figuur 10) maar op één manier een stabiel Borromeaans drietal mogelijk. Met de breedte van het latje liggen ook hier de afmetingen van de vijfhoeken en zeshoeken vast, vanwege een vaste verhouding tussen die breedte en maximale lengten (te weten de zijden) van die veelhoeken. Het is dus van belang om die verhouding te kennen dan wel te kunnen berekenen. 

In de getoonde voorbeelden houden de vierkanten, vijfhoeken en zeshoeken elkaar stevig bijeen zodat ze een stabiel geheel vormen. Ze zijn niet onderling aan elkaar bevestigd of gelijmd. Wel is het uiteraard zo dat als je er willekeurig een doorknipt en weghaalt de andere twee los van elkaar komen, zo zijn Borromeaanse drietallen immers gedefinieerd. Dat geldt natuurlijk ook bij de driehoeken in de figuren 2, 3 en 4. Bij figuur 1 komt alles los als een van de gekleurde driehoeken wordt doorgeknipt en weggehaald. Bij doorknippen en weghalen van de ongekleurde driehoek vormen de drie gekleurde driehoeken nog steeds een Borromeaans drietal. Dat blijft echter niet mooi staan zoals in figuur 1.

 

Opgave Zoek uit of je in het logo van ChatGPT te maken hebt met een Borromeaans drietal.