Opgave 429

Het cijfer dat de meeste streepjes gebruikt is $8$; dit gebruikt namelijk alle zeven streepjes. Het cijfer dat de minste streepjes gebruikt is $1$, met slechts twee streepjes. Het tijdstip $11:11$ is onderdeel van de $24$-uurs klok, dus dit is het tijdstip met de minste streepjes. Het eerste cijfer op deze $24$-uurs klok kan alleen een $0, 1$ of een $2$ zijn, dus $88:88$ telt niet. We hebben een ander cijfer dan $8$ nodig. De cijfers die de op één na meeste streepjes gebruiken zijn $0$, $6$ en $9$; namelijk zes streepjes. Dus het tijdstip met de meeste streepjes is $08:08$, aangezien $68$, $86$, $98$ en $89$ niet bestaan in onze $24$-uurs klok. 

Opgave 430

Uit het gegeven volgt direct dat $\angle BAC=30^{\circ}$, dat $\angle CAD=60^{\circ}$ en dat $ \angle BCA= \angle ACD=45^{\circ}$. We laten in driehoeken $ABC$ en $ACD$ de hoogtelijnen vanuit $B$ en $D$ neer, die $AC$ snijden in respectievelijk $P$ en $Q$. Driehoek $ABP$ is nu een $30-60-90$-driehoek, waarin geldt dat $|BP|:|BA|:|AP|=1:2:\sqrt{3}$, dus $|BP|=2$ en $|AP|=2\sqrt{3}$. Driehoek $BCP$ is een $45-45-90$-driehoek met verhoudingen $1:1:\sqrt{2}$, dus $|PC|=2$ en $|BC|=2\sqrt{2}$. We weten dus dat $|AC|=2+2\sqrt{3}$. Driehoek $DAQ$ is ook een $30-60-90$-driehoek en $CDQ$ een $45-45-90$-driehoek. Als voor een ogenblik $|AQ|=x$, dan geldt $|DQ|=|CQ|=x\sqrt{3}$ en dus $|AC|=x+x \sqrt{3}$. Hieruit volgt dat $x=2$, wat betekent dat $|AD|=4$ en $|CD|=2\sqrt{6}$. Dit geeft een totale omtrek van $4+4+2\sqrt{2}+2\sqrt{6}= 8 + 2\sqrt{2}+2\sqrt{6}$.

 

 

Opgave 431

Als we de eerste keer de oneven letters wegstrepen, houden we de even letters over. Als we dit vervolgens herhalen strepen we alle veelvouden van $2$ weg, die geen veelvouden van $4$ zijn. Als we dan nog een keer de oneven letters wegstrepen, strepen we de veelvouden van $4$ weg, die geen veelvouden van $8$ zijn. Je houdt dus steeds de veelvouden van $2^n$ over. Het grootste veelvoud van $2^n$ onder de $100$ is $64$. Het woord Pythagoras heeft $10$ letters, dus de $64^{\rm e}$ letter is de $4^{\rm e}$ letter van het woord Pythagoras - de letter H blijft dus over. Voor duizend letters werkt dit hetzelfde. Het grootste veelvoud van $2^n$ onder de $1000$ is $512$, dus de letter die overblijft is de tweede letter van het woord, oftewel de letter Y.

Opgave 432

Er zijn verschillende manieren om deze vraag op te lossen. Het vierkant in het midden heeft oppervlakte $1$ en dus ook zijdes van lengte $1$. De bases van de gelijkbenige driehoeken zijn dus ook van lengte $1$. Lijnstuk $AC$ bestaat uit $2$ bases en uit een diagonaal van het vierkant. Met de stelling van Pythagoras bereken je dat deze diagonaal een lengte van $\sqrt{2}$ heeft, waardoor $|AC| = 2 + \sqrt{2}$.

Nu delen we de achthoek helemaal opnieuw in; namelijk in acht gelijkbenige driehoeken, waarbij $AC$ nu bestaat uit twee lange zijden van deze driehoeken. De lange zijden van de driehoeken zijn dus van lengte $|AC|/2 = 1 + \frac{1}{2}\sqrt{2}$. Daarnaast weten we dat middelpunt $O$ wordt verdeeld in acht gelijke hoeken, waardoor $\angle COF$ = $360^{\rm o} / 8 = 45^{\rm o}$. Nu weten we van iedere driehoek twee bekende zijden en een ingesloten hoek, waarmee we de oppervlakte kunnen uitrekenen middels

$$
\text{Opp }\triangle OFC = \frac{|OF| |OC|}{2}\sin(45^{\circ}) = \frac{(1 + \frac{1}{2}\sqrt{2})^2}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{3}{2} + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}+4}{8}.
$$

De totale oppervlakte van de achthoek wordt dan $3\sqrt{2} + 4$.