Het voorschrift $t_n = n^4 - 6n^3 + 11n^2 - 4n + 1$ voldoet aan de rij $1, 3, 5, 7$ maar geeft voor $t_4$ geen $9$ maar $33$. De rij wordt dan $1, 3, 5, 7, 33, \ldots$. Dit voorschrift van de 4^e graad zou je zelf kunnen krijgen door uit te
gaan van $t_n = a \cdot n^4 + b \cdot n^3 + c \cdot n^2 + d \cdot n + e$. Met de vijf waarden $1, 3, 5, 7$ en $33$ zijn nu vijf vergelijkingen op te stellen waarmee de vijf onbekenden $a, b, c, d, e$ nu uit te rekenen zijn. Dit is een hele klus, de
rij laat zich niet op eenvoudige wijze ontmaskeren.

Er is een manier waarmee het voorschrift voor zo'n rij wel op een eenvoudige manier te vinden is. Met die methode is het zelfs mogelijk een voorschrift te vinden voor de rij: $1, 3, 5, 7, m, \ldots$. 

Ook bij de vraag wat de volgende term is van de rij $5, 4, 21, 140, 517, 1380, \ldots$ is het zelfs mogelijk deze volgende term te berekenen zonder eerst een voorschrift voor deze rij op te stellen. De manier waarop je dit kunt doen is door gebruik te maken van verschilrijen. Dit zijn rijen die gevormd worden uit de eerst gegeven rij door van de rij steeds het verschil te nemen van twee opeenvolgende termen. Van de eerste verschilrij $v_{1n}$ die je zo krijgt kan opnieuw een verschilrij $v_{2n}$ worden gemaakt, hieruit krijg je dan weer $v_{3n}$ en ga zo maar door. 

Voorbeeld 1

Gegeven $t_n = 5 + 12n$.

$t_n$	$5$		$17$		$29$		$41$		$53$		$\cdots$
$v_{1n}$		$12$		$12$		$12$		$12$		$\cdots$
$v_{2n}$			$0$		$0$		$0$		$\cdots$

De coëfficiënten $5$ en $12$ van $t_n = 5 + 12n$ zijn nu eenvoudig terug te vinden als de eerste termen van $t_n$ en $v_{1n}$. Zouden de coëfficiënten bij elke andere rij ook zo eenvoudig te vinden zijn?

Voorbeeld 2

Gegeven is $t_n = n^2$. De verschilrijen duiden we aan met $v_{1n}, v_{2n}, v_{3n}$.

$t_n$	${\color{Red}0}$		$1$		$4$		$9$		$16$		$25$		$\cdots$
$v_{1n}$		${\color{Red}1}$		$3$		$5$		$7$		$9$		$\cdots$
$v_{2n}$			${\color{Red}2}$		$2$		$2$		$2$		$\cdots$
$v_{3n}$				$0$		$0$		$0$		$\cdots$

We vinden
$v_{1n} = t_{n+1} - t_n = (n + 1)2 - n^2 = 2n + 1$ en

$v_{2n} = v_{1n+1} - v_{1n} = 2(n + 1) + 1 - (2n + 1) = 2$.

Wat de verschilrijen betreft: het valt direct op dat elke nieuwe verschilrij een graad $1$ lager krijgt dan de rij waaruit deze is verkregen. Uiteindelijk blijkt er een verschilrij uit te komen die alleen uit nullen bestaat. De eigenschap dat de graad van een verschilrij steeds $1$ lager wordt is in te zien doordat $a(n + 1)^m - an^m$ de termen van graad $m$, $an^m$ en $-an^m$, steeds tegen elkaar wegvallen. 

Kijken we nu naar de begintermen $\color{Red} 0$, $\color{Red} 1$ en $\color{Red} 2$ van deze rijen dan leiden deze ons nu helaas niet naar het functievoorschrift zoals dat wel in voorbeeld 1 het geval was, immers de rij in dit voorbeeld is niet $t_n = {\color{Red}0} + {\color{Red}1}n + {\color{Red}2}n^2$. Toch zal blijken dat deze getallen ${\color{Red}0}$, ${\color{Red}1}$ en ${\color{Red}2}$ ons de informatie te geven om het functievoorschrift $t_n = n^2$ te vinden.

De manier waarop is te vinden door gebruik te maken van ${n \choose k}$, de zogeheten binomiaalcoëfficiënten. Je spreekt dit uit als "n boven k".

De rij $t_n = n^2$ heeft graad $2$, zo ook ${n \choose k}$, immers ${n \choose k} = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n$.

Wanneer we hieruit nu $n^2$ uitdrukken in ${n \choose k}$ krijgen we $n^2=2{n \choose 2}+n=2{n \choose 2}+{n \choose 1}$.

Ofwel: $t_n=n^2={\color{Red}0}+{\color{Red}1}{n \choose 1}+{\color{Red}2}{n \choose 2}={\color{Red}0}{n \choose 0}+{\color{Red}1}{n \choose 1}+{\color{Red}2}{n \choose 2}$.
Zou dit inderdaad een eigenschap zijn die ook voor iedere andere rij geldt?

We proberen het uit met een nieuw voorbeeld.

Voorbeeld 3

$t_n = n^3$. De verschilrijen duiden we aan met $v_{1n} , v_{2n} , v_{3n}$ en $v_{4n}$.

$t_n$	${\color{Red}0}$		$1$		$8$		$27$		$64$		$125$		$\cdots$
$v_{1n}$		${\color{Red}1}$		$7$		$19$		$37$		$61$		$\cdots$
$v_{2n}$			${\color{Red}6}$		$12$		$18$		$24$		$\cdots$
$v_{3n}$				${\color{Red}6}$		$6$		$6$		$\cdots$
$v_{4n}$					$0$		$0$		$\cdots$

We vinden
$v_{1n} = t_{n+1} - t_n = (n + 1)^3 - n^3= 3n^2 + 3n + 1$,

$v_{2n} = 3(n + 1)^2 + 3(n + 1) + 1 - (3n^2 + 3n + 1) = 6n + 6$ en

$v_{3n} = 6(n + 1) + 6 - (6n + 6) = 6$.

We schrijven eerst ${\color{Red}0}+{\color{Red}1}{n\choose1}+{\color{Red}6}{n\choose2}+{\color{Red}6}{n\choose3}=$

$0+1\cdot\frac{n}{1!}+6\cdot\frac{n(n-1)}{2!}+6\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}=$

$0+1n+3n^2-3n+n^3-3n^2+2n=n^3$.

Opnieuw blijkt de werkwijze te kloppen. Zonder bewijs hiervoor blijven we deze nu verder gebruiken. 

Terug naar de vraag die aan het begin van dit artikel is gesteld. Wat is het voorschrift van de rij $5, 4, 21, 140, 517, 1380, \dots$? We schrijven de rij eerst op, en zoeken bij de verschilrijen naar de begintermen ervan:

$\color{Red}{5}$		$4$		$21$		$140$		$517$		$1380$		$\cdots$
	$\color{Red}{-1}$		$17$		$119$		$337$		$863$
		$\color{Red}{18}$		$102$		$258$		$486$
			$\color{Red}{84}$		$156$		$228$
				$\color{Red}{72}$		$72$
					$0$

$t_n=\color{Red}5+\color{Red}{-1}{n\choose1}+\color{Red}{18}{n\choose2}+\color{Red}{84}{n\choose3}+\color{Red}{72}{n\choose4}$.

 

Opgave 1 Schrijf al deze "n boven k" termen uit en laat zien dat $t_n=3n^4-4n^3+5$. Opgave 2 Controleer dat dit voorschrift klopt voor de rij $5,4,21,140,517,1380,\ldots$

Nu gaan we terug naar de rij $1, 3, 5, 7, \ldots$. Stel dat de volgende term van deze rij nu eens $10$ is in plaats van $9$? Welk voorschrift heeft deze rij?

$1$		$3$		$5$		$7$		$10$
	$2$		$2$		$2$		$3$
		$0$		$0$		$1$
			$0$		$1$
				$1$

 

Opgave 3 Laat met de begingetallen $1, 2, 0, 0, 1$ van deze rijen zien dat $t_n=n^4-6n^3+11n^2-4n+1$.

Nu de rij $1, 3, 5, 7, m, \ldots$. Met behulp van de verschilrijen berekenen we nu het voorschrift van de rij: $1, 3, 5, 7, m, \ldots$.

$1$		$3$		$5$		$7$		$m$
	$2$		$2$		$2$		$m - 7$
		$0$		$0$		$m - 9$
			$0$		$m - 9$
				$m - 9$

$t_n=1+2{n\choose1}+0{n\choose2}+0{n\choose3}+(m-9){n\choose4}$

$=1+2n+(m-9)(n)(n-1)(n-2)(n-3)/24$.

Opgave 4 Laat zien dat met deze uitdrukking $t_4$ gelijk is aan $m$.

Kiezen we $n = 5$ dan blijkt $t_5 = 5m - 34$. Kiezen we $n = 6$ dan vinden we $t_6 = 15m - 122$. Deze antwoorden hadden we ook kunnen vinden door vanuit de laatste verschilrij terug te rekenen. Terugrekenen: we beginnen met de onderste verschilrij en vinden nu door terug te rekenen een nieuwe laatste term voor de rij erboven. De eerste onbekende term noemen we $x$, met de uitkomst hiervan kunnen we dan $y$ uitrekenen, dan $z$ en vervolgens vinden we $t_5$. Zie onder.

 

$1$		$3$		$5$		$7$		$m$	$t_5$
	$2$		$2$		$2$		$m - 7$		$z$
		$0$		$0$		$m- 9$			$y$
			$0$		$m-9$				$x$
				$m-9$					$m - 9$

Merk op dat de laatste verschilrij uitsluitend uit termen $(m - 9)$ bestaat. We berekenen nu achtereenvolgens $x, y, z$ en $t_5$. $x - (m - 9) = m - 9 \longrightarrow x = 2m - 18$

$y - (m - 9) = 2m - 18 \longrightarrow y = 3m - 27$

$z - (m - 7) = 3m - 27 \longrightarrow z = 4m - 34$

$t_5 - m = 4m - 34 \longrightarrow t_5 = 5m - 34$.

Tot slot

De techniek om met behulp van verschilrijen het voorschrift van een rij te ontmaskeren is hierboven diverse keren met succes toegepast. Het wiskundige bewijs dat verklaart waarom deze werkwijze juiste oplossingen geeft is hier niet gegeven. Dit bewijs bestaat wel maar is te complex om in dit artikel te vermelden.

Opgave 5 Laat op deze wijze zien dat $t_6 = 15m-122$.

 

Hieronder, bij [Bekijk oplossing], vind je een python programma waarmee je zelf aan de slag kunt met verschilrijen.

 

Bekijk oplossing