Bij de vlakvullingenprijsvraag was naast de creatieve onderdelen ook één onderdeel dat echt wiskundig van aard was. In het artikel bijgaand bij de prijsvraag stond een bewijs dat er slechts vier vlakvullingen zijn met driehoeken, waarbij in ieder punt waar hoekpunten samenkomen de hoeken altijd gelijk zijn. Aan de inzenders om alle veelhoeken (vierhoek, vijfhoek, zeshoek, …) te bepalen met dezelfde eigenschap. Hieronder volgt de beste uitleg gebaseerd op de ingezonden oplossingen.

Vierhoek

Beschouw een vierhoek met hoeken $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ en $\delta$. Voor een vierhoek geldt dat  $\alpha + \beta+\gamma+\delta= 360^{\rm o}$. Aangezien ongelijke hoeken nooit in een hoekpunt mogen samenkomen, moet gelden dat een geheel aantal hoeken samen 360° zijn. We introduceren gehele getallen $a, b, c$ en $d$ zodat $\alpha a = 360^{\rm o}$, $\beta b = 360^{\rm o}$, $\gamma c = 360^{\rm o}$ en $\delta d = 360^{\rm o}$.
We elimineren nu $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ en $\delta$:

$$\frac{360^{\rm o}}{a} + \frac{360^{\rm o}}{b} + \frac{360^{\rm o}}{c} + \frac{360^{\rm o}}{d} =360^{\rm o}.$$

We delen door $360^{\rm o}$. We vinden de vergelijking:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=1.$$

We zoeken nu naar alle mogelijke oplossingen in positieve getallen $a, b, c$ en $d$ voor deze vergelijking. We vinden:

$Type$		$a$		$b$		$c$		$d$		$\alpha$		$\beta$		$\gamma$		$\delta$
$I$		$4$		$4$		$4$		$4$		$90^{\rm o}$		$90^{\rm o}$		$90^{\rm o}$		$90^{\rm o}$
$II$		$3$		$3$		$6$		$6$		$120^{\rm o}$		$120^{\rm o}$		$60^{\rm o}$		$60^{\rm o}$
$III$		$3$		$4$		$4$		$6$		$120^{\rm o}$		$90^{\rm o}$		$90^{\rm o}$		$60^{\rm o}$
$IV$		$3$		$3$		$4$		$12$		$120^{\rm o}$		$120^{\rm o}$		$90^{\rm o}$		$30^{\rm o}$

Er zijn 4 mogelijke keuzes voor $a, b, c$ en $d$ en daarmee voor de hoeken $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ en $\delta$. In tegenstelling tot het geval van de driehoek maakt ook de volgorde van de hoeken uit. Bij Type II zijn er twee mogelijkheden: ($120^{\rm o}$, $60^{\rm o}$, $120^{\rm o}$, $60^{\rm o}$) en ($120^{\rm o}$, $120^{\rm o}$, $60^{\rm o}$, $60^{\rm o}$). Getekend zien deze types er als volgt uit (figuur 1a en 1b): 

Bij Type III zijn er ook twee mogelijkheden: ($120^{\rm o}$, $90^{\rm o}$, $60^{\rm o}$, $90^{\rm o}$) en ($120^{\rm o}$, $90^{\rm o}$, $90^{\rm o}$, $60^{\rm o}$). Getekend zien deze types er als volgt uit (figuur 2a en figuur 2b).

Tenslotte vinden we ook voor Type IV 2 vierhoeken (figuur 3a en 3b).

Type I is een rechthoek. Het is duidelijk dat daarmee een vlakvulling kan worden gemaakt, zo dat in ieder punt waar hoekpunten samenkomen altijd de hoeken gelijk zijn. Bij zowel Type II als Type III lukt het wel om met types A een dergelijke vlakvulling te maken. Bij de types B lukt het nog wel om vlakvullingen te maken, maar nooit lukt het zo dat in ieder punt waar hoekpunten samenkomen altijd de hoeken gelijk zijn. Datzelfde geldt voor de twee vierhoeken we bij Type IV verkrijgen.
Hieronder staan de drie oplossingen met vier hoeken (figuur 4a t/m 4c).

Vijfhoek

Beschouw een vijfhoek met hoeken $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ en $\varepsilon$. Voor een vijfhoek geldt dat  $\alpha + \beta+\gamma+\delta+\varepsilon= 540^{\rm o}$. Ongelijke hoeken mogen nooit in een hoekpunt samenkomen. Er moet weer gelden dat een geheel aantal hoeken samen 360° zijn. We introduceren gehele getallen $a, b, c, d$ en $e$ zodat $\alpha a = 360^{\rm o}$, $\beta b = 360^{\rm o}$, $\gamma c = 360^{\rm o}$, $\delta d = 360^{\rm o}$ en $\varepsilon e = 360^{\rm o}$.
We elimineren nu $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ en $\varepsilon$:

$$\frac{360^{\rm o}}{a} + \frac{360^{\rm o}}{b} + \frac{360^{\rm o}}{c} + \frac{360^{\rm o}}{d} + \frac{360^{\rm o}}{e}=540^{\rm o}.$$

We delen door $360^{\rm o}$. We vinden de vergelijking:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}=\frac{540^{\rm o}}{360^{\rm o}}.$$

We zoeken nu naar alle mogelijke oplossingen in positieve getallen $a, b, c, d$ en $e$ voor deze vergelijking. We vinden:

$Type$		$a$		$b$		$c$		$d$		$e$		$\alpha$		$\beta$		$\gamma$		$\delta$		$\varepsilon$
$I$		$3$		$3$		$3$		$4$		$4$		$90^{\rm o}$		$90^{\rm o}$		$90^{\rm o}$		$90^{\rm o}$		$90^{\rm o}$
$II$		$3$		$3$		$3$		$3$		$6$		$120^{\rm o}$		$120^{\rm o}$		$60^{\rm o}$		$60^{\rm o}$		$60^{\rm o}$

Er zijn 2 mogelijke keuzes voor $a, b, c, d$ en $e$ en daarmee voor de hoeken $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ en $\varepsilon$. Net als bij de vierhoeken maakt ook de volgorde van de hoeken uit. 

Bij Type I zijn er twee mogelijkheden: ($120^{\rm o}$, $120^{\rm o}$, $120^{\rm o}$, $90^{\rm o}$, $90^{\rm o}$) en ($120^{\rm o}$, $120^{\rm o}$, $90^{\rm o}$, $120^{\rm o}$, $90^{\rm o}$). Getekend zien deze types er als volgt uit (figuur 5a en 5b).

Voor Type II is er maar één vijfhoek (figuur 6).

Al deze vijfhoeken resulteren in vlakvullingen zo dat in ieder punt waar hoekpunten samenkomen altijd de hoeken gelijk zijn (figuur 7).

Zeshoek

Beschouw een zeshoek met hoeken $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\varepsilon$ en $\zeta$. Voor een zeshoek geldt dat $\alpha+\beta+\gamma+\delta+\varepsilon+\zeta = 720^{\rm o}$. 

Nog steeds geldt dat een geheel aantal hoeken samen $360^{\rm o}$ zijn. 

We introduceren gehele getallen $a, b, c, d, e$ en $f$ zodat $\alpha a = 360^{\rm o}$, $\beta b = 360^{\rm o}$, $\gamma c = 360^{\rm o}$, $\delta d = 360^{\rm o}$, $\varepsilon e = 360^{\rm o}$ en $\zeta f = 360^{\rm o}$. We elimineren nu $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\varepsilon$ en $\zeta$:

$$\frac{360^{\rm o}}{a}+\frac{360^{\rm o}}{b}+\frac{360^{\rm o}}{c}+\frac{360^{\rm o}}{d}+\frac{360^{\rm o}}{e}+\frac{360^{\rm o}}{f}=720^{\rm o}.$$

Delen door $360^{\rm o} geeft de vergelijking

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{1}{f}=\frac{720^{\rm o}}{360^{\rm o}}=2.$$

We zoeken nu naar alle mogelijke oplossingen in positieve getallen $a, b, c, d, e$ en $f$ voor deze vergelijking. We vinden:

$a$		$b$		$c$		$d$		$e$		$f$
$3$		$3$		$3$		$3$		$3$		$3$

Er is 1 mogelijke vlakvulling met zeshoeken, waarbij in ieder punt waar hoekpunten samenkomen altijd de hoeken gelijk zijn (figuur 8).

Zevenhoek

Stel een zevenhoek met hoeken $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\varepsilon$, $\zeta$ en $\eta$. Voor een zevenhoek geldt dat $\alpha+\beta+\gamma+\delta+\varepsilon+\zeta+\eta = 900^{\rm o}$. Aangezien ongelijke hoeken nooit in een hoekpunt mogen samenkomen, moet gelden dat een geheel aantal hoeken samen $360^{\rm o}$ zijn. 

We introduceren gehele getallen $a, b, c, d, e, f$ en $g$ zodat $\alpha a = 360^{\rm o}$, $\beta b = 360^{\rm o}$, $\gamma c = 360^{\rm o}$, $\delta d = 360^{\rm o}$, $\varepsilon e = 360^{\rm o}$, $\zeta f = 360^{\rm o}$ en $\eta g = 360^{\rm o}$. We elimineren nu $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\varepsilon$, $\zeta$ en $\eta$:

$$\frac{360^{\rm o}}{a}+\frac{360^{\rm o}}{b}+\frac{360^{\rm o}}{c}+\frac{360^{\rm o}}{d}+\frac{360^{\rm o}}{e}+\frac{360^{\rm o}}{f}+\frac{360^{\rm o}}{g}=900^{\rm o}.$$

Na deling door $360^{\rm o} krijgen we

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{1}{f}+\frac{1}{g}=\frac{900^{\rm o}}{360^{\rm o}}=\frac{5}{2}.$$

We zoeken nu naar alle mogelijke oplossingen in positieve getallen $a, b, c, d, e, f$ en $g$ voor deze vergelijking. 

De maximale grootte van een hoek is $120^{\rm o}$ aangezien $a, b, c, d, e, f$ en $g$ gehele getallen moeten zijn en de hoeken kleiner dan $180^{\rm o}$ moeten zijn (bij $180^{\rm o}$ heb je een gestrekte hoek). Indien bij een zevenhoek
de zeven hoeken allemaal $120^{\rm o}$ zouden zijn (wat dus de maximale grootte is) dan is de som van de hoeken $840^{\rm o}$. We hebben eerder gezegd dat de som van de hoeken van een zevenhoek $900^{\rm o}$ is dus is er hier geen vlakvulling mogelijk waarbij in ieder punt waar hoekpunten samenkomen altijd de hoeken gelijk zijn.

Hieruit volgt dus ook dat er geen enkele vlakvulling, waarbij in ieder punt waar hoekpunten samenkomen altijd de hoeken gelijk zijn, mogelijk is voor grotere veelhoeken.