Pythagoras Olympiade 62-2, november 2022

Pythagoras Olympiade 62-2, november 2022

Opgave 485 [oOO]

Bewijs dat er geen gehele getallen $a$ en $b$ bestaan zodat de uitdrukking $x^2 + ax + b$ deelbaar is door $3$ voor alle gehele getallen $x$. Bestaan er wel gehele $a$, $b$ en $c$ zodat $x^3 + ax^2 + bx + c$ deelbaar is door $3$ voor alle gehele $x$?

Opgave 486 [oOO]

De skyline van een stad bestaat uit $10$ gebouwen die naast elkaar staan. De gebouwen hebben allemaal een hoogte van $1$, $2$, $3$, $4$ of $5$. Om te zorgen dat de skyline mooi gelijkmatig is, mogen twee gebouwen die naast elkaar staan nooit een hoogteverschil van meer dan $1$ hebben. Hoeveel verschillende skylines zijn er dan mogelijk?

Opgave 487 [ooO]

Laat $x$ en $y$ twee rationale getallen zijn (dat will zeggen, breuken van de vorm $a/b$ waar $a$ en $b \neq 0$ gehele getallen zijn) die voldoen aan de vergelijking $x^7 + y^7 = 2x^3y^3$ Bewijs dat $1 - xy$ het kwadraat van een rationaal getal is.

Opgave 488 [ooO]

Twee zakenvrouwen, Anniek en Babanne, hebben samen een stuk grond van $4 \times 4$ kilometer gekocht, opgedeeld in percelen van $1 \times 1$ kilometer. Ze willen de grond samen verdelen, zodat ze allebei evenveel grond in beheer hebben, en zodat voor allebei hun grondgebied aaneengesloten is (zodat ze niet door gebied van de ander hoeven om bij een ander deel van hun eigen gebied te komen). Op hoeveel manieren kunnen ze zo’n verdeling maken?