Inzenden vóór 1 maart 2025

Opgave 537 ^[oOO]

We kunnen het getal $3$ op precies drie manieren schrijven als de som van (minstens twee) positieve gehele getallen, waarbij de volgorde van de getallen uitmaakt: 

$3 = 1 + 2 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1$.

Op hoeveel manieren kunnen we dit doen voor het getal $10$?

Opgave 538 ^[oOO]

Max voetbalt bij ploeg Real Matrix. Zijn trainer heeft hem beloofd dat hij mee mag met de selectie als de volgende wedstrijd minstens 80% van zijn passes goed zijn. Max begint dan ook vol spanning aan de wedstrijd, en daardoor lukt het in de eerste helft niet zo goed: minder dan 80% van zijn passes zijn raak. In de tweede helft herpakt hij zich en na de tweede helft zijn over de hele wedstrijd gemeten meer dan 80% van zijn passes raak en mag Max in de selectie. Bewijs dat er een moment ergens in de tweede helft was waarop precies 80% van de passes tot dat moment raak was.

Opgave 539 ^[ooO]

We kleuren elk roosterpunt in een (oneindig groot) assenstelsel met één van in totaal $5$ beschikbare kleuren. Toon aan dat we een rechthoek in dit assenstelsel kunnen tekenen met hoekpunten op de roosterpunten en met de eigenschap dat alle vier de hoekpunten dezelfde kleur hebben gekregen. Wat gebeurt er als we meer dan $5$ kleuren hebben?

Opgave 540 ^[ooO]

Hoeveel drietallen reële getallen $(a, b, c)$ bestaan er zodat de vergelijking

$$x^3 + ax^2 + b^x + c = 0$$ 

als oplossingen precies $a$, $b$ en $c$ heeft?

Je inzending moet bij ons binnen zijn vóór 1 maart 2025 via [email protected]