Inzenden kon tot 15 april 2025

Opgave 541 ^[oOO]

Bepaal het aantal viertallen positieve gehele getallen $a, b, c, d$ met $a \le b \le c \le d$ zodat $a + b + c + d = 20$.

Opgave 542 ^[oOO]

Beschouw een vierkant dat is opgedeeld in $16$ kleinere vierkantjes met zijden van $1$ centimeter.

Op hoeveel manieren kunnen we drie van deze kleine vierkantjes verwijderen op zo'n manier dat de omtrek van de resulterende figuur gelijk blijft?

Opgave 543 ^[ooO]

Het rijtje $2, 1, 4, 5, 3$ voldoet aan de eigenschap dat het gemiddelde van ieder tweetal getallen (indien geheel) niet tussen die twee getallen in staat.

Het rijtje $2, 1, 4, 3, 5$ voldoet niet aan deze eigenschap, want $3$ staat tussen $1$ en $5$. Is het mogelijk om de getallen $1$ tot en met $20$ zodanig te ordenen dat het resulterende rijtje aan deze eigenschap voldoet?

En hoe zit het met de getallen $1$ tot en met $2025$?

Opgave 544 ^[ooO]

Bas heeft een machine waar je een kaart met een positief geheel getal $n \ge 1$ in kunt stoppen, waarna de machine je een kaart met een positief geheel getal erop terug geeft. Als Bas tweemaal dezelfde kaart in de machine stopt, dan komt daar altijd dezelfde kaart uit. We noteren het getal op deze nieuwe kaart als $M(n)$, waar de $M$ staat voor machine. De machine voldoet aan de volgende regels voor alle positieve gehele getallen $n$ en $m$:

• Als $n > m$, dan geldt dat $M(n) > M(m)$.
• Er geldt dat $M(M(n)) = 3n$.

Voor de experts: $M:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ is dus een strikt stijgende functie zó dat $M(M(n)) = 3n$ voor alle $n \in \mathbb{N}$.

Bas stopt het getal $2025$ in de machine. Wat is dan de uitkomst?

 

Je inzending moet bij ons binnen zijn vóór 15 april 2025 via [email protected]