Het systeem van de "grootste gemiddelden"

De manier van rekenen hangt af van het aantal te verdelen zetels, wat op zich al vreemd is. Voor nu beperken we ons tot de methode die bij 19 of meer zetels wordt gebruikt. Dit geldt voor gemeentes met meer dan $20\,000$ inwoners.

De Kieswet schrijft voor die gevallen voor dat eerst de "kiesdeler" wordt uitgerekend, dat is het totale aantal stemmen gedeeld door het aantal zetels. Van elke partij wordt het aantal verkregen stemmen gedeeld door die kiesdeler, en de uitkomst wordt naar beneden afgerond. Dat zijn de "volle" zetels. Tot zover kunnen we het nog volgen. Maar dan.

Als gevolg van het afronden zijn hiermee niet alle zetels verdeeld. Er blijft een aantal "restzetels" over. Die worden verdeeld volgens het "systeem van de grootste gemiddelden". Bij dit systeem wordt van elke partij het aantal stemmen gedeeld door 1 meer dan het aantal al toegewezen ("volle" + "rest"-)zetels. De partij waarbij deze berekening de hoogste uitkomst oplevert, krijgt een zetel erbij. De procedure wordt herhaald totdat alle "restzetels" toegewezen zijn.

Snap jij het? Ik niet. Nou ja, ik snap wel hoe ik het voorschrift moet uitvoeren, maar ik voel niet aan hoe dit bijdraagt aan een eerlijke zetelverdeling. Het voorschrift komt uit de lucht vallen. Laten we daarom eerst eens kijken hoe het in de praktijk uitpakt, en daarna of we voor onszelf helder kunnen krijgen wat er nou eigenlijk gebeurt en hoe het eventueel beter kan.

Praktijkvoorbeeld

Kijk eens even naar tabel 1. Hier zie je de uitslag van de gemeenteraadsverkiezingen van 21 maart 2018 voor de gemeente Losser (Overijssel).

Partij  $i$	Stemmen $S_i$	"Percentage" $P_i = S_i/G$	Zetels onafgerond $19 P_i$	Afgerond	Zetels Kieswet	"Volle" zetels $\lfloor 19 P_i\rfloor$	"Restzetels"
BURGERFORUM	$3\,211$	$0{,}3211$	$6{,}1009$	$6$	$7$	$6$	$1$
CDA	$3\,190$	$0{,}3190$	$6{,}0610$	$6$	$7$	$6$	$1$
VVD	$1\,702$	$0{,}1702$	$3{,}2338$	$3$	$3$	$3$	$0$
Democraten 66 (D66)	$869$	$0{,}0869$	$1{,}6511$	$2$	$1$	$1$	$0$
Partij van de Arbeid (P.v.d.A.)	$605$	$0{,}0605$	$1{,}1495$	$1$	$1$	$1$	$0$
GROENLINKS	$424$	$0{,}0424$	$0{,}8056$	$1$	$0$	$0$	$0$
Totaal	$10\,001$	$1{,}0001$	$19{,}0019$	$19$	$19$	$17$	$19$

Tabel 1. Uitslag van de gemeenteraadsverkiezingen van 21 maart 2018 voor de gemeente Losser (Overijssel).
(Bron: https://www.verkiezingsuitslagen.nl)

In de eerste kolom staan de namen van de partijen, gesorteerd op het aantal stemmen dat ze behaalden. Dat aantal stemmen staat in de tweede kolom. In de navolgende berekeningen behandel ik de partijnaam als een index, die ik aangeef met de letter $i$.

Het aantal stemmen op partij $i$ noteer ik als $S_i$. Bijvoorbeeld: $3\,211$ kiesgerechtigden hebben op het Burgerforum gestemd, dus $S_{\rm Burgerforum} = 3\,211$. In totaal zijn er $10\,001$ stemmen uitgebracht. Dit getal gaan we vaker nodig hebben, daarom geef ik er een naam aan: $G$, van "alle Geldige stemmen". Er zijn $19$ zetels te verdelen. Dit aantal is niet voor elke gemeente hetzelfde. Daarom gebruik ik ook hiervoor een variabele: $Z$, van "totaal aantal Zetels". Een andere handige variabele is $P_i$, het "percentage" stemmen op partij $i$, uitgedrukt als getal tussen $0$ en $1$. (Zie de derde kolom.) Bijvoorbeeld: het Burgerforum heeft $32{,}11\%$ van alle stemmen gekregen $(3\,211 / 10\,001 \times 100\%)$, dus $P_{\rm Burgerforum} = 0{,}3211$. Meer algemeen: $P_i = S_i/G$.

Hier begint het interessant te worden. Een partij die $P_i \times 100\%$ van alle stemmen heeft vergaard, komt zonder afronden $P_i \times 100\%$ van alle zetels toe, dus $Z P_i$. (In de taal van de Kieswet: $S_i/K$, met $K$ de kiesdeler $G/Z = 526{,}37$.) Dit is uitgerekend in de kolom "Zetels onafgerond".

Het aantal "volle" zetels wordt bepaald door dit aantal naar beneden af te ronden. Deze bewerking geef ik aan met $\lfloor$ en $\rfloor$. Bijvoorbeeld: $\lfloor 3{,}9 \rfloor = 3$. Dus partij $i$ komt $\lfloor Z P_i\rfloor$ "volle" zetels toe.

In de laatste kolommen zie je achtereenvolgens het aantal zetels na rekenkundig afronden, het uiteindelijke aantal zetels op grond van de Kieswet, en de aantallen "volle" en "rest"zetels. Laten we eens kijken hoe dit alles zich tot elkaar verhoudt.

Evenredige vertegenwoordiging en bevoordeling van grote partijen (1)

Volgens de Grondwet worden de raadsleden "gekozen op de grondslag van evenredige vertegenwoordiging binnen door de wet te stellen grenzen". "Evenredige vertegenwoordiging" suggereert rekenkundig afronden. In werkelijkheid hebben de 2 grootste partijen elk een zetel meer gekregen, en 2 kleine partijen juist een zetel minder.

Dat de zetelverdeling in het voordeel van de grotere partijen uitpakt, is al lang bekend en wordt door sommige politici en politicologen zelfs als voordeel gezien. Dit maakt het namelijk makkelijker om een gemeentebestuur te vormen. Zo is er in Losser bij rekenkundig afronden maar 1 combinatie van 2 partijen met een zetelmeerderheid (Burgerforum + CDA), terwijl dat er bij de zetelverdeling volgens de Kieswet 3 zijn (Burgerforum + CDA, Burgerforum + VVD, CDA + VVD), ook al vertegenwoordigen 2 van die 3 combinaties een minderheid ($49\%$) van de kiezers.

Wat is hier wiskundig bezien gaande?

Vanuit wiskundig oogpunt roept dit vragen op. Er wordt gehinkt op twee gedachten: evenredige vertegenwoordiging en bevoordeling van grote partijen. Dus wat is hier nou uiteindelijk uitgerekend? Verder is het vreemd dat er op twee verschillende manieren wordt gerekend: afronding omlaag om de "volle" zetels toe te kennen, en een andere berekening voor de "restzetels". Zetels zijn zetels. Is er niet één veralgemeniseerd rekenvoorschrift te bedenken om op hetzelfde resultaat uit te komen?

De meeste partijen krijgen $0$ "restzetels". Kennelijk komt de eerste stap, afronding omlaag, al dicht bij zo'n veralgemeniseerd rekenvoorschrift. Laten we dus eens zien wat er gebeurt als we de procedure om de "volle" zetels te berekenen een beetje oprekken. Dat doen we met elastiek.

De elastiek-methode

Pak in gedachten een stuk elastiek van $19$ centimeter, en breng er met pen een markering op aan op $6{,}1$ centimeter vanaf het ene uiteinde. Ergens op dat eerste stukje elastiek schrijf je "Burgerforum". $6{,}06$ centimeter verder breng je een tweede markering aan. Ergens tussen de eerste en de tweede markering schrijf je "CDA". En zo wijs je aan elke partij een deel van het elastiek toe, in lengte evenredig aan het aantal stemmen op die partij.

Het voorschrift om de "volle" zetels van een partij te bepalen luidt: kijk hoe lang het stukje elastiek is waar de naam van die partij op staat, en rond naar beneden af op hele centimeters. Doordat we steeds enkele elastiek-millimeters zetel verwaarlozen, komen we op een lager totaal aantal zetels uit dan waarop we mikken. Dit lossen we op door hoger te mikken dan waarop we willen uitkomen.

We komen $2$ zetels te laag uit, dus laten we eens $2$ zetels hoger gaan zitten door het elastiek op te rekken van $19$ naar $21$ cm. Partij $i$ krijgt dan niet $\lfloor 19 P_i\rfloor$ maar $\lfloor 21 P_i\rfloor$ "volle" zetels toegewezen. Zie de kolom "Eerste poging" in tabel 2.

Partij $i$	Stemmen $S_i$	"Percentage" $P_i = S_i/G$	Eerste poging $\lfloor 21 P_i\rfloor$	Tweede poging $\lfloor 23 P_i\rfloor$	Zetels Kieswet
BURGERFORUM	$3\,211$	$0{,}3211$	$6$	$7$	$7$
CDA	$3\,190$	$0{,}3190$	$6$	$7$	$7$
VVD	$1\,702$	$0{,}1702$	$3$	$3$	$3$
Democraten 66 (D66)	$869$	$0{,}0869$	$1$	$1$	$1$
Partij van de Arbeid (P.v.d.A.)	$605$	$0{,}0605$	$1$	$1$	$1$
GROENLINKS	$424$	$0{,}0424$	$0$	$0$	$0$
Totaal	$10\,001$	$1{,}0001$	$17$	$19$	$19$

Tabel 2: "volle" opgerekte zetels

We komen nog steeds $2$ zetels tekort, dus we rekken het elastiek nog wat verder op, tot $23$ cm. Zie de kolom "Tweede poging". Nu komt het totale aantal zetels goed uit. Sterker nog: elke partij heeft nu precies evenveel zetels als volgens de Kieswet (laatste kolom)!

Het wiskundige verband tussen de elastiek-methode en de Kieswet

Het lijkt erop dat de rekenmethode volgens de Kieswet nauw verwant is aan de elastiek-methode. Maar een wiskundige neemt geen genoegen met "het lijkt erop dat". Je wilt natuurlijk weten hoe het precies zit!

Laten we daarom in wat meer detail kijken naar wat er gebeurt na de allereerste stap, als de aantallen "volle" zetels zijn uitgerekend en er nog geen "restzetels" zijn toegewezen. (Zie ook tabel 1.) Partij $i$ heeft op basis van $S_i$ stemmen $\lfloor Z P_i\rfloor$ "volle" zetels gekregen (met in het bovenstaande voorbeeld $Z = 19$). Volgens de Kieswet moeten we nu de partij selecteren waarvoor $S_i/(\lfloor Z P_i\rfloor + 1)$ maximaal is. Je kunt ook zeggen dat de omgekeerde breuk, $(\lfloor Z P_i\rfloor + 1)/S_i$, minimaal moet zijn. Maar dan moet ook het $G$-voudige hiervan, $(\lfloor Z P_i\rfloor + 1)/P_i$, minimaal zijn.

Pak nog even het elastiek erbij. Rek het langzaam op. Voor elke partij $i$ is er een elastieklengte $F_i$ (met de $F$ van "Fictief totaal aantal zetels") waarbij het aantal zetels voor die ene partij met $1$ toeneemt, van $\lfloor Z P_i\rfloor$ naar $\lfloor F_i P_i\rfloor = \lfloor Z P_i\rfloor + 1$.

Terug naar het voorschrift uit de Kieswet. We zagen dat $(\lfloor Z P_i\rfloor + 1)/P_i$ minimaal moet zijn. Dit betekent dus dat $\lfloor F_i P_i\rfloor/P_i$ minimaal moet zijn. Maar $F_i$ is per definitie de kleinste elastieklengte waarvoor $\lfloor F_i P_i\rfloor$ op het gehele getal $\lfloor Z P_i\rfloor + 1$ uitkomt. De kleinste waarde $x$ waarvoor $\lfloor x\rfloor = N$ is $N$ zelf, dus $\lfloor F_i P_i\rfloor = F_i P_i$.

De Kieswet schrijft dus voor om de eerste "restzetel" toe te wijzen aan de partij $i$ waarvoor $F_i P_i/P_i = F_i$ minimaal is. Dat is de eerste partij die er door het oprekken een zetel bij krijgt. Voor de overige partijen $j$ maakt oprekken van $Z$ naar $F_i$ cm geen verschil: $\lfloor Z P_j\rfloor = \lfloor F_i P_j\rfloor$ voor $j \neq i$. Noteren we de laagste $F$-waarde boven $f$ waarbij een van de partijen er volgens de elastiek-methode een zetel bij krijgt als $F_{\rm min}(f)$, dan heeft elke partij $i$ nu dus $\lfloor F_{\rm min}(Z) P_i\rfloor$ zetels, en kunnen we de bovenstaande redenering herhalen met $F_{\rm min}(Z)$ op de plek van $Z$.

Dus: de Kieswet schrijft voor om de tweede "restzetel" toe te kennen aan de partij waarvoor $S_i/(\lfloor F_{\rm min}(Z) P_i\rfloor + 1)$ maximaal is, dus $(\lfloor F_{\rm min}(Z) P_i\rfloor + 1)/P_i$ minimaal is. Pak het elastiek er weer bij, en je ziet dat dit de partij is die bij $F_{\rm min}(F_{\rm min}(Z))$ volgens de elastiek-methode een zetel extra krijgt. De derde "restzetel" volgens het voorschrift van de Kieswet gaat naar de partij die volgens de elastiek-methode een zetel extra krijgt bij $F_{\rm min}(F_{\rm min}(F_{\rm min}(Z)))$, en zo verder. Anders gezegd: de methode van de Kieswet is niets anders dan de elastiek-methode, alleen ondoorzichtig gepresenteerd.

Impliciet wordt van $Z$ op een steeds hoger fictief totaal aantal zetels overgestapt, net zolang tot zeteltoewijzing via afronding naar beneden het gewenste totale aantal zetels oplevert.

Achteraf bezien hadden we, in plaats van het totale aantal zetels te verhogen, ook de kiesdeler kunnen verlagen. Als je er goed over nadenkt, zie je dat het "grootste gemiddelde" in feite de grootste kleinere fictieve kiesdeler $G/F$ is die een verschil maakt. Zo daal je stapje voor stapje af naar de grootste fictieve kiesdeler $K_{\rm max}$ waarbij het totale aantal zetels uitkomt op $Z$. (Door nog 1 stap verder te gaan bereken je de waarde $K_{\rm min}$ waarbij het totale aantal zetels uitkomt op $Z + 1$. Nu ken je alle geschikte kiesdelers: het hele interval $K_{\rm min}$ tot en met $K_{\rm max}$, met uitzondering van $K_{\rm min}$ zelf.)

De elastiek-methode met rekenkundig afronden

Net zoals we zetels kunnen verdelen met afronden naar beneden kunnen we het natuurlijk ook doen met rekenkundig afronden. Dat is een betere invulling van evenredige vertegenwoordiging, omdat de afgeronde waarde per definitie zo dicht mogelijk bij de onafgeronde waarde zit. Dat wil niet zeggen dat het totale aantal zetels automatisch goed uitkomt. Bij de gemeente Losser is dat wel zo, maar je kunt natuurlijk ook iets te hoog of te laag uitkomen, zoals bij de gemeente Oude IJsselstreek (Gelderland), zie tabel 3. Met een kleine aanpassing kunnen we ook hiervoor de elastiek-methode gebruiken.

Partij $i$	Stemmen $S_i$	"Percentage" $P_i = S_i/G$	Eerste poging $\lfloor 25 P_i + 0{,}5\rfloor$	Tweede poging $\lfloor 26 P_i + 0{,}5\rfloor$	Derde poging $\lfloor 25{,}5 P_i + 0{,}5\rfloor$	Zetels Kieswet
Lokaal Belang	$6\,680$	$0{,}3699$	$9$	$10$	$9$	$10$
CDA	$3\,927$	$0{,}2175$	$5$	$6$	$6$	$5$
SP (Socialistische Partij)	$2\,437$	$0{,}1350$	$3$	$4$	$3$	$3$
Partij van de Arbeid (P.v.d.A.)	$2\,032$	$0{,}1125$	$3$	$3$	$3$	$3$
VVD	$2\,020$	$0{,}1119$	$3$	$3$	$3$	$3$
Democraten 66 (D66)	$961$	$0{,}0532$	$1$	$1$	$1$	$1$
Totaal	$18\,057$	$1$	$24$	$27$	$25$	$25$

Tabel 3. Uitslag van de gemeenteraadsverkiezingen van 21 maart 2018 voor de gemeente Oude IJsselstreek (Gelderland).
(Bron: https://www.verkiezingsuitslagen.nl)

Rekenkundig afronden is hetzelfde als vermeerderen met $0{,}5$ en daarna omlaag afronden. Bijvoorbeeld: $0{,}4$ wordt rekenkundig afgerond op $\lfloor 0{,}4 + 0{,}5\rfloor = \lfloor 0{,}9\rfloor = 0$, en $0{,}5$ wordt rekenkundig afgerond op $\lfloor 0{,}5 + 0{,}5\rfloor = \lfloor 1\rfloor = 1$. Dus als het elastiek is opgerekt tot $F$ centimeter krijgt partij $i$ $\lfloor F P_i + 0{,}5\rfloor$ zetels. In deze gemeente zijn $25$ zetels te verdelen, dus we beginnen met $F = 25$, Zie de vierde kolom.

Hiermee komen we op $24$ zetels uit, $1$ te weinig. Daarom proberen we het met $F = 26$, zie de vijfde kolom. Omdat we nu op een te hoog zeteltotaal uitkomen ($27$), proberen we het met een iets lagere waarde, $F = 25{,}5$. Deze waarde is goed. Zie de voorlaatste kolom.

Nu heeft Lokaal Belang $1$ zetel minder dan volgens de Kieswet, en het CDA heeft er juist $1$ meer. Hierdoor zijn 2 "valse meerderheden" komen te vervallen: Lokaal Belang + VVD, en Lokaal Belang + PvdA. Beide combinaties vertegenwoordigen $48{,}2\%$ van de stemmen maar krijgen volgens de Kieswet $52\%$ van de zetels. Bij rekenkundig afronden krijgen ze $48\%$ van de zetels. Keerzijde van de medaille is dat er 1 "valse minderheid" bij is gekomen: de combinatie Lokaal Belang + SP, goed voor $50{,}5\%$ van de stemmen, krijgt nu eveneens slechts $48\%$ van de zetels.

Evenredige vertegenwoordiging en bevoordeling van grote partijen (2)

Uit oogpunt van evenredige vertegenwoordiging komt partij i een stemgewicht van $Z P_i$ toe. Wiskundig bezien zou je het hierbij moeten laten, bij bijna elke afwijking hiervan ontstaat wel een "valse meerderheid". Maar politici zijn geen wiskundigen, politici willen het stemgewicht van hun partij visualiseren in de vorm van personen met onderling gelijk stemgewicht. Dus moeten we afronden. Om toch nog zo dicht mogelijk bij die $Z P_i$ te blijven, komen we uit op rekenkundig afronden: $\lfloor Z P_i + 0{,}5\rfloor$.

In plaats daarvan is in de Kieswet gekozen voor afronding omlaag: $\lfloor Z P_i\rfloor$. Afronden omlaag is rekenkundig afronden na vermindering met $0{,}5$. Bij een fictief totaal van $F$ zetels is elke zetel $G/F$ kiezers waard, dus je kunt ook zeggen dat de Kieswet voorschrijft bij elke partij $G/2F$ stemmen te schrappen, het overblijvende aantal $(S_i - G/2F)$ te delen door $G/F$, de uitkomst $(F P_i - 0{,}5)$ rekenkundig af te ronden en de $F - Z$ "restzetels" aan geen enkele partij toe te wijzen.

$G/2F$ stemmen schrappen, dat hakt er bij kleine partijen verhoudingsgewijs steviger in dan bij grote partijen. Dit grotere nadeel voor de kleine partijen is een voordeel voor de grote partijen.

Zoals gezegd, deze schending van de evenredige vertegenwoordiging is niet per se kwalijk. Sommige politici en politicologen vinden het juist prima. Het is niet aan wiskundigen om hierin partij te kiezen, wel kunnen wiskundigen verhelderen wat er eigenlijk gebeurt en de politici en politicologen instrumenten aanreiken om hun werk beter te doen.

Eén zo'n instrument verkrijgen we met het volgende voorschrift.

Als een partij $P \times 100\%$ van de stemmen heeft behaald, dan komt die partij $(F P + c)$ zetels toe, rekenkundig afgerond, waarbij $F$ geschikt gekozen wordt om het totale aantal zetels van alle partijen samen op de gewenste waarde uit te laten komen, en $c$ een "schuifregelaar" is om af te wijken van evenredige vertegenwoordiging ten gunste van de grote $(c < 0)$ of juist de kleine $(c > 0)$ partijen.

Impliciet is deze "schuifregelaar" in de Kieswet ingesteld op $c = -0{,}5$, maar wiskundig bezien is die waarde volstrekt willekeurig. Als het wenselijk is om van evenredige vertegenwoordiging af te wijken ten gunste van grotere partijen, is een nog lagere waarde van c misschien nog wel beter. Weliswaar leidt het voorschrift dan voor al te kleine partijen tot een negatief aantal zetels, maar dat valt op te lossen door die partijen per definitie $0$ zetels te geven.