Op 7 maart won een man uit North Carolina een miljoen dollar bij een loterij. Niks bijzonders, want íémand moet dat miljoen winnen. Deze man had echter in april 2017 óók al eens een miljoen gewonnen. Natuurlijk kon die man het niet geloven. De kans dat je de loterij wint, is immers gering – en dan druk ik me eufemistisch uit. Laat staan de kans dat je twee keer wint. Met een lot gekocht bij één en dezelfde kiosk nog wel. Want deze man gaat voor zijn loten altijd naar hetzelfde adres: Sam’s Mini Stop in Concord.

Toch is zo’n gebeurtenis helemaal niet zo uniek. Wie googelt op de trefwoorden ‘wins lottery twice’ vindt alleen al in de periode tussen januari 2018 en nu meerdere nieuwsberichten van gelijke strekking. Een Fransman, twee keer raak in minder dan twee jaar. Een Australiër, twee keer in één week. Een Canadees, twee keer in vijf maanden.

Verjaardagsprobleem

Is hier een pact met de duivel gesloten of voldoen al die opmerkelijke gebeurtenissen gewoon aan de nuchtere wetten van de kansrekening? Het loterijgebeuren is vergelijkbaar met het zogenoemde verjaardagsprobleem, een klassieker uit de kansrekening. Daarbij gaat het om de vraag hoe groot de kans is dat in een groep van, zeg, dertig personen er minstens twee op dezelfde dag jarig zijn. Daarvoor zijn veel denkbare combinaties. Er kunnen precies twee mensen dezelfde verjaardag hebben, of drie, of vier, enzovoorts. Maar daarmee zijn we er nog niet. Het kan ook zijn dat Aafke en Bart tegelijk jarig zijn, en Cees en Diana ook (maar op een andere dag dan Aafke en Bart).

Om de kans te berekenen dat minstens twee personen op dezelfde dag jarig zijn, zouden we van al die mogelijkheden de kans moeten bepalen en bij elkaar op moeten tellen. Dat is onbegonnen werk – het aantal mogelijke combinaties voor dubbele verjaardagen is veel te groot.

Maar er is een truc: bereken de kans op het tegenovergestelde – alle dertig zijn op verschillende dagen jarig – en trek die kans van 100% af. Persoon 1 kan op 365 van de 365 dagen in het jaar jarig zijn. Persoon 2 mag niet op dezelfde dag jarig zijn; de kans daarop is 364/365. Voor persoon 3 zijn er 363 dagen waarop hij jarig mag zijn. De kans dat de drie verjaardagen niet identiek zijn, is daarom 364/365 × 363/365. De vierde persoon mag nog op 362 van de 365 dagen jarig zijn. De kans dat de verjaardagen van 1, 2, 3 en 4 niet identiek zijn, is daarom 364/365 × 363/365 × 362/365.

Zo gaat het door. Voor de laatste persoon zijn er nog 336 mogelijkheden. De slotsom is dat de kans dat alle dertig een verschillende verjaardag hebben, gelijk is aan 364/365 × 363/365 × 362/365 × … × 336/365. Dat komt neer op 29%. Ergo: de kans op minstens twee identieke verjaardagen is 71%. De mens als intuïtieve kansschatter is hopeloos, want de meesten schatten die kans flink lager in.

Minstens twee keer de loterij

Terug naar de geluksvogel uit North Carolina. In maart werd hij voor de tweede keer miljonair met een zogeheten $150 Million Cash Explosion scratch-off ticket van de North Carolina Education Lottery. Die loterij heeft diverse spellen in het assortiment. Eén daarvan heet ‘Cash 5’. De hoofdprijs daarbij is veel lager dan een miljoen dollar, maar dit spel leent zich goed voor dit artikel: door de heldere spelregels kunnen we direct aan de slag met een rekensommetje.

Van de getallen 1 tot en met 39 moet je er vijf aankruisen – dat kan op 575.757 manieren. Dagelijks is er een trekking. Hoe groot is de kans dat er in een jaar tijd (365 trekkingen) minstens twee keer dezelfde vijf getallen worden getrokken? De structuur is gelijk aan het verjaardagsprobleem, maar dan met 575.757 dagen in een jaar en een groepsgrootte van 365. De kans op een doublure is bijna 11%.

Stel nu eens dat 575.757 mensen dagelijks met één Cash-5-lot meespelen, waarbij ze altijd hun zelfde vijf geluksgetallen aankruisen. We nemen ook even aan dat geen tweetal mensen precies dezelfde vijf geluksgetallen hebben. Dan is dus de kans dat iemand minstens twee keer wint in een jaar tijd gelijk aan 11%. Voor een periode van twee jaar stijgt die kans al naar 37%.

Nu is het vast wat overdreven om aan te nemen dat er 575.757 dagelijkse spelers zijn en ook de aanname dat elke combinatie van vijf uit 39 getallen precies één keer voorkomt is onrealistisch (mensen denken nu eenmaal dat de combinatie 1-2-3-4-5 beslist niet winnend is, hoewel die combinatie dezelfde kleine kans heeft als elke andere combinatie). Maar toch: in dit voorbeeld hebben we het alléén nog maar over ‘Cash 5’ van de North Carolina Education Lottery. Er zijn nog een heleboel andere loterijen, die allemaal niet meegenomen zijn in dit voorbeeld. De berekening, ook al is die onder enkele versimpelde aannames gemaakt, geeft aan dat het echt niet zo bijzonder is als één en dezelfde persoon meer dan eens flink oogst.

In het recent verschenen boek Toeval is altijd logisch (uitgeverij Vesuvius) verklaart auteur Steven Tijms de vele meervoudige loterijwinnaars zo: ‘Miljoenen mensen kopen loten, vaak zelfs meerdere per keer en van meerdere loterijen. Als er maar genoeg mensen lang genoeg meedoen aan loterijen, is het een weinig gewaagde voorspelling dat íémand een keer twee maal een loterij zal winnen, al is ieders individuele kans daarop zeer klein.’ En zo is het.

Heeft u interesse in het boek Toeval is altijd logisch? Pythagoras mag drie exemplaren weggeven! De drie inzenders met de beste oplossing voor het onderstaand probleem krijgen het boek thuisgestuurd. Stuur je strategie voor 15 augustus naar [email protected].

In een TV-show staat een echtpaar voor drie gesloten deuren met nummers 1, 2 en 3. Eén deur verbergt een auto, een andere deur de autosleutel en de overgebleven deur een fopprijs. Elk van de echtelieden mag achter twee deuren kijken zonder dat de ander erbij is. Treft de man de auto en de vrouw de sleutel, dan winnen ze de auto. Kun je een strategie bedenken waardoor de kans om de auto te winnen maximaal is?