Met bijvoorbeeld 25 als startwaarde kan je – op een vaste manier – tellen welke cijfers er in voorkomen. In ‘25’ komt 1 keer een 2 en 1 keer een 5 voor, symbolisch opgeschreven als ’1215’. In de volgende stap wordt van de cijferreeks 1215 geteld welke cijfers er in voorkomen en hoe vaak. Dat is nu: 2 keer een 1, 1 keer een 2 en 1 keer een 5. Dit levert dus ‘211215’ op. Dit geeft een zichzelf herhalend proces:

25
1215
211215
312215
21221315
31321315
31123315

Maar hoe loopt het af? Bij de keuze van 25 als startwaarde is er een einde. Als we de zevende cijferrij

31123315

gaan ‘tellen’, krijgen we: 3 keer een 1, 1 keer een 2, 3 keer een 3 en 1 keer een 5. Symbolisch opgeschreven is dit de oorspronkelijke reeks 31123315 zelf! Daarom heet 31123315 een ‘zelfteller’. Nu is de vraag natuurlijk: zijn er meer van zulke zelftellers?

Opgave 1

Welke zelfteller volgt uit het startgetal 1?

Opgave 2

Een langere zelfteller volgt uit het startgetal 0. Welke?

Opgave 3

Er bestaat een hele korte zelfteller, met maar twee cijfers. Welke?

In Denkwaar werd gevraagd welk startgetal tussen 0 en 99 geen zelfteller opleveren. Dat is bijvoorbeeld 40. Er ontstaat dan een cyclus van ‘bijna-zelftellers’.

Er zijn in totaal 15 zelftellers die ontstaan uit een startgetal van 0 tot en met 99. In dit artikel gaan we een stapje verder: ‘Zijn er nog meer zelftellers?’

Indeling naar ‘lengte’

Om alle zelftellers te vinden gaan we ze indelen op lengte. Met lengte wordt bedoeld het aantal cijfers dat in de teller voorkomt. In de zelfteller 31123315 worden de cijfers 1, 2, 3 en 5 geteld. Daarom is de lengte van deze zelfteller 4. In het algemeen bevat een zelfteller van lengte n dus 2n cijfers (al is daar één uitzondering op, zoals we later zullen zien). We bekijken nu per geval het bestaan en aantal zelfteller van lengte n.

Lengte 1

Dit zijn zelftellers van het type ‘xa’. Dat kan alleen maar ‘22’ zijn: a is het te tellen cijfer. Er kan echter maar één cijfer zijn, anders zou de lengte van de zelfteller 2 worden (4 cijfers). Dat betekent dat te tellen en geteld cijfer gelijk moeten zijn. Dat kan alleen maar bij 22.

Lengte 2

We bewijzen dat er geen zelftellers van lengte 2 bestaan. Zo’n zelfteller is van de vorm xayb: x keer het cijfer a en y keer het cijfer b. Maar het totaal aantal cijfers moet 4 zijn, dus x + y = 4. Verder moeten twee verschillende cijfers geteld worden, dus (x,y) kan (1,3), (2,2) of (3,1) zijn.

(x,y) = (1,3) is de tellerrij 1a3b. Er kunnen dus alleen maar de cijfers 1 en 3 geteld worden, maar 1133 is  geen zelfteller.

(x,y) = (2,2) betekent 2a2b. Een van beide waarden a of b moet dan dus 2 zijn. Maar dat kan niet, want dan zou het aantal getelde keren 2 gelijk moeten zijn aan 3 en dus zou x of y gelijk moeten zijn aan 3.

Voor (x,y) = (3,1) volgt een soortgelijke tegenspraak als bij (x,y) = (1,3).

Lengte 3

Ook hier zijn er geen zelftellers mogelijk. Die zou moeten zijn: xaybzc,  met x + y + z = 6. We nemen aan: a < b < c. De negen combinaties (x,y,z) zijn dan (1,1,4), (1,2,3), (1,3,2), (1,4,1), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1) en (4,1,1).

Voor de combinaties met ‘123’ er in betekent dit:

(x,y,z) = (1,2,3), dus 1a2b3c is nu wegens a < b < c: 112233. Maar dat is geen zelfteller.

(x,y,z) = (1,3,2), dus 113223, is geen zelfteller. Op eenzelfde manier zijn voor de andere vier combinaties 211213, 211233, 213213 en 312213 geen zelftellers.

Voor de combinaties met ‘114’:

(x,y,z) = (1,1,4), dus 1a1b4c, kan niet want daarin komt de 1 al minstens twee keer voor. Eventueel zou 101b4c kunnen (het cijfer ‘0’ kan ook voorkomen!), maar dan zou b gelijk aan 1 moeten zijn, wegens a < b < c.

(x,y,z) = (1,4,1), dus 1a4b1c. Alleen 104114 komt in aanmerking, maar dat is geen zelfteller.

(x,y,z) = (4,1,1), dus 4a1b1c. Kan alleen 411214 of 411314 zijn, maar dat zijn geen zelftellers.

Opgave 4

Zoek een zelfteller met lengte 4. Bedenk dat een zelfteller ook kan ontstaan uit het zichzelf herhalend proces met een startrij. Begin niet te ambitieus, dus niet met 1234, maar…

Lengte 4

Het ‘per stuk’ tellen wordt nu wel wat bewerkelijk, dus heb ik een computerprogramma ingeschakeld (Small Basic). Resultaat: acht oplossingen met het cijfer 0; 27 zelftellers zonder 0. Ik onderscheid vanaf hier nu ook groepen van oplossingen en geef de groepen ook een naam. De eerste naam hebben we al. Dat is nummer 1: A = 22 (lengte 1).

Nr.	Zelfteller	Naam	Voorwaarden
2	10213223	B
3	10311233	C
4-9	1031331n	n	n = 4 t/m 9
10-15	2132231n	En	n = 4 t/m 9
16-21	3112331n	Fn	n = 4 t/m 9
22-36	31331m1n	Gmn	m = 4 t/m 9; n = 4 t/m 9; m ≠ n

Bijzonderheden: A en B (10213223 en 10311233) tellen beide met de vier opeenvolgende cijfers 0, 1, 2 en 3. Dat doen de zelftellers 21322314 en 31123314 ook, maar dan met 1, 2, 3 en 4. In 31331517 worden alleen de opeenvolgende oneven cijfers 1, 3, 5 en 7 geteld.

Lengte 5

Er zijn 21 zelftellers met lengte 5. Ze vallen in twee groepen uiteen. Voorbeelden uit beide groepen zijn 1031223314 en 3122331415.

Nr.	Zelfteller	Naam	Voorwaarden
37-41	103122331n	Hn	n = 4 t/m 9
42-57	3122331m1n	Imn	m = 4 t/m 9; n = 4 t/m 9; m ≠ n

Merk op dat het ‘middendeel’ van Hn en het begin van In gelijk zijn: 312233.

1031223314 is de enige 5-zelfteller met die de opeenvolgende cijfers 0 t/m 4 telt. Dat geldt ook voor 3122331415, die 1 t/m 5 telt.

Lengte 6

Vreemd genoeg lijken er geen zelftellers met lengte 6 te zijn. Ik kan dit niet bewijzen, maar het computerprogramma geeft geen resultaten voor dit aantal getelde cijfers.

Lengte 7

Opgave 5

Er is één zelfteller die precies alle cijfers 1 tot en met 7 telt. De frequenties die erin voorkomen zijn 1, 1, 1, 2, 2, 3 en 4. Welke 7-zelfteller is dat?

In totaal zijn er 20 zelftellers van lengte 7. Al deze zelftellers bevatten de deelreeks 41322324. De helft daarvan bevatten een 0; de andere helft niet.

Nr.	Zelfteller	Naam	Voorwaarden
58-67	10413223241m1n	Jmn	m = 5 t/m 9; n = 5 t/m 9; m ≠ n
68-77	413223241m1n1o	Kmno	m = 5 t/m 9; n = 5 t/m 9; o = 5 t/m 9; m ≠ n≠ o

Lengte 8

Hiervan zijn er 15, te onderscheiden in vier typen: L, M, N en O. Van type O is er maar één variant: 5132232516171819; de 0 en de 4 worden hierin overgeslagen. In alle typen zit het de deelteller 3223.

Nr.	Zelfteller	Naam	Voorwaarden
78-83	1051322314251m1n	Lmn	m = 6 t/m 9; n = 6 t/m 9; m ≠ n
84-87	10513223251m1n1o	Mmno	m = 6 t/m 9; n = 6 t/m 9; o = 6 t/m 9; m ≠ n≠ o
88-91	51322314251m1n1o	Nmno	m = 6 t/m 9; n = 6 t/m 9; o = 6 t/m 9; m ≠ n≠ o
92	5132232516171819	O

Lengte 9

Hier zijn er zes van, in twee typen. Alle bevatten het deel 613223141526.

Nr.	Zelfteller	Naam	Voorwaarden
93-97	106132231415261m1n	Pmn	m = 7 t/m 9; n = 7 t/m 9; m ≠ n
98	613223141526171819	Q

Lengte 10

Hier gebeurt iets bijzonders. De 10-zelfteller 10713223141516171819 is natuurlijk prachtig. Maar er is nog een tweede, onverwachte mogelijkheid, namelijk die met 11 keer een 1! Ook leuk is dat deze 10-zelfteller de 100^e en laatste is…

Nr.	Zelfteller	Naam	Voorwaarden
99	10713223141516171819	R	m = 7 t/m 9; n = 7 t/m 9; m ≠ n
100	101112213141516171819	S

Tot slot nog een tabel met een overzicht van alle n-zelftellers.

n	Aantal oplossingen
1	1
2	0
3	0
4	35
5	21
6	0
7	20
8	15
9	6
10	2
totaal	100

Na Denkwaar en Denkwerk komt Jaap Klouwen in oktober 2018 met een nieuw boek: Denkraam. Daarin vind je onderwerpen zoals de zelftellers en andere uitdagende taal- en wiskundige puzzel.