Er is een geweldig boek verschenen. Het heet De kunst van het hoofdrekenen en is geschreven door de rekenvirtuoos Willem Bouman. Ik denk dat vrijwel alle Pythagoraslezers dit boek superleuk vinden, ook al moet je geen slappe knieën krijgen van wat deze man allemaal kan.

Goed in rekenen was Bouman op de lagere school al, maar zijn talent ontwikkelde hij pas systematisch na zijn pensioen. Inmiddels is hij 77 jaar en behoort hij tot de wereldtop op het gebied van het hoofdrekenen. In 2006 nam hij volkomen onvoorbereid deel aan het wereldkampioenschap hoofdrekenen. Hij werd zevende. Inmiddels heeft hij drie wereldrecords op zijn naam. In 2014 kreeg hij in Dresden de Prix d’Excellence toen hij uit het hoofd de drie priemfactoren vond van 278 353 657 (voor wie het weten wil: $439 \times 653 \times 971$).

Daar waar wij in een flits weten dat $3\times 8$ gelijk is aan 24, weet hij meteen dat $79 \times 87 = 6 873$. En dat voor elk tweetal tweecijferige getallen. Bovendien zal hij er in veel gevallen ook nog iets speciaals over kunnen vertellen.

Modulorekenen

Een belangrijk ingrediënt van het boek is modulorekenen. Dat is rekenen met resten na deling. We geven een paar voorbeelden, waaraan je meteen kan zien hoe het boek in elkaar zit.

Het product van 52 en 79 is 4 108. Hoe weet je – uiteraard zonder een rekenmachine te gebruiken – of dit correct is? Zonder uitleg geeft Bouman het volgende algoritme. Ten eerste leren we dat de rest van 4 108 bij deling door 9 gelijk is aan 4. Dit volgt uit de som van de cijfers: 4 + 1 + 0 + 8 = 13, en daarvan nog eens de som: 1 + 3 = 4.

We bepalen de som van de cijfers van 52 en 79 op dezelfde manier: dit is in beide gevallen 7. Vervolgens berekenen we 7 $\times$ 7 = 49. Van dit laatste getal is de som van de cijfers 13, en de som van de cijfers van 13 is 4. Dit is dezelfde uitkomst als de rest van 4 108. De kans is nu groot dat 4 108 de juiste uitkomst is van 52 $\times$ 79.

Bouman legt niet uit wat hier allemaal achter zit. Dat moet je zelf bedenken. Zo moeilijk is dit overigens niet. Toch lees ik het boek telkens met de vraag: wat zit hier achter?

Mooie eigenschappen

Bouman gebruikt het modulorekenen ook om vast te stellen of een getal kan optreden als som van drie kwadraten. Hij demonstreert zijn technieken voor hele series getallen. Als je dit allemaal hebt begrepen, realiseer je je opeens dat de auteur dit allemaal uit zijn hoofd doet!

Bouman ontdekt allerlei eigenschappen van getallen die je nooit zou ontdekken als het denken over getallen niet je dagelijkse kost is. Een van de merkwaardigste dingen is het getal 50 000, dat op veertien manieren te schrijven is als som van drie kwadraten. Eén zo’n manier is $220^2 + 32^2 + 24^2 = 50 000$.

En dat is nog niet genoeg: hij vindt ook dat er onder deze veertien drietallen vier zijn waarvoor de som gelijk is aan 324 (208 + 60 + 56, 200 + 96 + 28, 188 + 120 + 16 en 160 + 156 + 8) en vier waarvoor de som gelijk is aan 348 (196 + 80 + 72, 192 + 100 + 56, 176 + 132 + 40 en 160 + 152 + 36).

Al deze dingen vindt hij uit door te hoofdrekenen. In zijn boek laat hij niet alleen zijn kunsten zien, maar geeft hij ook nog opgaven waar je zelf je tanden in mag zetten.

 

Zelf doen

De kunst van het hoofdrekenen vráágt erom om alles na te rekenen. Je zult er vrijwel geen fouten in aantreffen. Ik kon maar één fout ontdekken, maar dat is echt een futiliteit. Het betreft een afronding: op bladzijde 8 staat (652,00 – 649,04)/649,04 ≈ 0,4%. Echter: 0,00456 ≈ 0,005, ofwel =0,5%. Hieruit mogen we misschien opmaken dat de schrijver meer van gehele dan van decimale getallen houdt.

De kunst van het hoofdrekenen is een aanstekelijk en indrukwekkend boek. Eindelijk leren we eens hoe een wereldkampioen hoofdrekenen werkelijk denkt en maken we mee wat voor moois hij aantreft in de getallenwereld.