Wat is een getal? Je denkt direct aan $1, 2, 3$, enz. Maar je denkt mogelijk ook aan negatieve getallen, $-1, -2, -3, \dots$ of aan $0$ en niet te vergeten de breuken $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{3}$ en $\frac{22}{7}$ . Maar daarnaast is er een hele verzameling andere getallen, de irrationale getallen, zoals $\pi = 3{,}14159\dots, \sqrt{2} = 1{,}41\dots$ enz. Al deze getallen kun je nog in de wiskunde weergeven met een (aantal) symbolen.

Maar het antwoord op de vraag "hoe hoog is de deur van de ruimte waarin je je bevindt (uitgedrukt in cm)?" is niet meer weer te geven met een getal. Je gaat met een meetlat aan de slag en vindt bijvoorbeeld $205$. Maar klopt dat wel? Is dat precies $205$ cm? Tegenwoordig kun je met een laser veel nauwkeuriger een dergelijke afstand opmeten. Mogelijk komt de laser uit op $205{,}134$ cm. Maar zelfs dan is het resultaat niet precies. En de vraag is of je deze hoogte zo precies nodig hebt.

Dit zijn zaken waar je tegenaan loopt als je wiskunde gaat toepassen in de praktijk.

Afronden en foutmarges

Nog even een reminder voordat we weer verder gaan. Stel je hebt het getal $1{,}6666$. Dit getal wil je afronden op twee decimalen nauwkeurig, waarbij we vanaf $0{,}5$ naar boven afronden en tot $0{,}5$ naar beneden. In eerste instantie zeg je: dat wordt $1{,}66$. Maar dat is onjuist. Je rondt een getal af, zo dat het verschil tussen het oorspronkelijke getal en het afgeronde getal zo klein mogelijk is. Bij de keuze $1{,}66$ is het verschil $0{,}0066$ maar rond je af op $1{,}67$ dan is het verschil nog maar $0{,}0034$, dat is bijna de helft!

We gaan nu wiskundig kijken naar fouten. We gaan uit van een getal dat je hebt gemeten. We kijken weer naar het voorbeeld van de deur. Omdat daar afgerond is op hele centimeters, weet je dat de ware hoogte ($W$) ergens tussen $204{,}5$ en $205{,}5$ ligt. De fout ($F$) is dus maximaal $0{,}5$ cm. Dit noemen we de absolute fout. Bij het meten van een deur is dat wel acceptabel, maar stel dat je insecten aan het opmeten bent, dan is een fout van $0{,}5$ cm enorm. Daarom kijken we ook vaak naar de relatieve fout: $F/W$. Die zegt hoe groot de fout is naar verhouding van wat je aan het meten bent.

EffeCten op foutmarges bij doorrekenen

Wat gebeurt er als je getallen met hun fouten bij elkaar optelt of met elkaar vermenigvuldigt? We gaan het uitzoeken aan de hand van een voorbeeld.

Ik heb een tuintje van $3{,}1 \times 4{,}1$ meter. Ik heb het wel eens opgemeten, maar zo precies kan ik dat niet. De echte lengte zit tussen $3{,}05$ en $3{,}15$ meter; de breedte tussen $4{,}05$ en $4{,}15$ meter.

Ik bepaal eerst de omtrek van de tuin. Als de ware lengte en breedte resp. $3{,}05$ en $4{,}05$ meter zijn dan is de omtrek $14{,}2$ meter (tweemaal de lengte en tweemaal de breedte). In het geval van $3{,}15$ en $4{,}15$ meter, dan is de omtrek $14{,}6$ meter. Uitgaande van mijn gemeten waarden $3{,}1$ en $4{,}1$ meter kom ik uit op $14{,}4$ meter. De fout in de omtrek kan oplopen tot $0{,}2$ meter, dat is precies tweemaal de absolute fout in de lengte plus tweemaal de absolute fout in de breedte.

Nu wil ik de oppervlakte weten. Die ligt ergens tussen $3{,}05 \times 4{,}05 = 12{,}3525$ en $3{,}15 \times 4{,}15 = 13{,}0725$ m². Uitgaande van $3{,}1 \times 4{,}1$ kom ik uit op $12{,}71$ m². Ik kom uit op een oppervlakte van $12{,}7 \pm 0{,}4$ m². Maar kan ik misschien deze berekening doen met de absolute en of relatieve fouten? Ja zeker! De berekening zelf is best ingewikkeld, die zetten we daarom in een apart kader, maar het resultaat is dat je (bij benadering) de relatieve fouten bij elkaar mag optellen om uit te komen op de relatieve fout van het product.

De relatieve fout van $0{,}05$ op $3{,}1$ is $0{,}05/3{,}1 = 0{,}016$ en $0{,}05/4{,}1 = 0{,}012$. Dan is de relatieve fout van het product $0{,}028$. Nu zien we $0{,}4/12{,}7 = 0{,}031$, dat komt aardig overeen!

Opgave 1 Onderzoek wat er gebeurt met de fouten als je het verschil neemt van twee getallen. Let op! Je moet bij het ene getal de bijbehorende fout optellen en bij het andere getal de bijbehorende fout aftrekken om zo een maximale fout in het eindresultaat te krijgen. Opgave 2 Onderzoek wat er gebeurt met de fouten als je het quotiënt neemt van twee getallen. Let op! Je moet bij het ene getal de bijbehorende fout optellen en bij het andere getal de bijbehorende fout aftrekken om zo een maximale fout in het eindresultaat te krijgen. Uitgaande van $l + f$ en $b - g$ krijg je ergens in je berekening $\frac{1}{1 - \tfrac{g}{b}}$. Dat is bij benadering gelijk aan $1 + \tfrac{g}{b}$.

 

		Berekening met absolute en relatieve fouten $l$ en $b$ zijn de ware lengte en breedte. $f$ en $g$ zijn de bijbehorende fouten. Dan zijn $\frac{f}{l}$ en $\frac{g}{b}$ de relatieve fouten van de lengte en breedte. We vergelijken $(l + f)\times(b + g)$ met $lb$. De nieuwe relatieve fout is: $$\frac{(l+f)\times(b+g)}{lb}=\frac{lb+fb+lg+fg}{lb}=1+\frac{f}{l}+\frac{g}{b}+\frac{fg}{lb}.$$ Je ziet dat de relatieve fouten in de lengte en breedte terugkeren in de relatieve fout van het product. Er is nog een extra term $\frac{fg}{lb}$ , die een stuk kleiner is, omdat het het product is van twee relatieve fouten.