Opgave 1

De oppervlakte van de arbelos vinden we door van de oppervlakte van de halve grote cirkel (= π(r₁ + r₂)²/2) de oppervlaktes van de twee halve kleine cirkels af te trekken:

oppervlakte arbelos = $\frac{\pi(r_1 + r_2)^2}{2} - \frac{\pi r^2_1}{2} - \frac{\pi r^2_2}{2}=\pi r_1 r_2$

Voor het bepalen van de lengte van het lijnstuk BD merken we op dat de driehoeken ADB en BDC gelijkvormig zijn. Hieruit volgt dat $\frac{|AD|}{|BD|} = \frac{|BD|}{|DC|}$ en dus is $|BD|^2 = |AD| \cdot |DC|$. En omdat $|AD| = 2r_2$ en $|DC| = 2r_1$, volgt nu:

oppervlakte rode cirkel = $\frac{\pi |BD|^2}{4} = \frac{\pi |AD| \cdot |DC|}{4} = \pi r_1 r_2$.

Dit was ook de manier waarop Archimedes het bewees.

Opgave 2

• De lengte van het lijnstuk M₁N₁ gelijk aan is r₁ + r. De lengte van het lijnstuk MN₁ is gelijk aan r₁ + r₂ − r (de straal van de grote cirkel min die van de tweelingcirkel).
• |EM₁| = r₁ − r want |DE| = r. Omdat |MM₁| = r₂ (waarom?) hebben we dat |EM| = r₂ − r₁ + r.
• Volgens de stelling van Pythagoras hebben we dan: (r₁ + r)² − (r₁ − r)² = (r₁ + r₂ − r)² − (r₂ − r₁ + r)² en uitwerken en vereenvoudigen geeft de waarde voor r: $r = \frac{r_1r_2}{r_1+r_2}$

Opgave 3

• Volgens de stelling van Pythagoras hebben we dan de volgende drie vergelijkingen:
  (1) (x + r₁)² + y² = (r₂ + r)²
  (2) x² + y² = (r₁ + r₂ − r)²
  (3) (x − r₂)² + y² = (r₁ + r)².
• Als je vergelijking (2) aftrekt van (1), en dan ook vergelijking (2) aftrekt van (3), dan vind je na wat uitwerken:
  $r_1x = (r_1 + 2r_2)r - r_1(r_1 + r_2)$ en $-r_2x = (2r_1 + r_2)r – r_2(r_1+r_2)$.
• Vul de waarde van x die je krijgt uit de linkse vergelijking in de rechtse in, en bereken dan uit het resultaat r.

Je vindt dan voor de waarde van r:

$$r=\frac{r_1r_2(r_1+r_2)}{r^2_1+r_1r_2+r^2_2}.$$