Opgave 1

Een $m\times n$ puzzel heeft het goede formaat als $(m-2)(n-2)=2m+2n-4$.  Dit is equivalent met $mn-4m-4n=-8$ en $(m-4)(n-4)=8$. Dus de mogelijke waarden voor $(m-4)$ zijn $\pm 1, \pm2, \pm4$ en $\pm8$. Als je alles uitzoekt dan zijn er twee goede formaten: $6\times8$ en $5\times12$.

Opgave 2

Ik denk dat iedere keer het formaat dat het dichtst in de buurt van een vierkant komt wordt gekozen en dus het formaat waar het verschil tussen $m$ en $n$ zo klein mogelijk is.

• Voor $500$ stukken wordt het $20\times25$.
• Voor $1000$ stukken wordt het $25\times40$.
• Voor $1500$ stukken wordt het $30\times50$.
• Voor $2000$ stukken wordt het $40\times50$.

Opgave 3

Een $m\times n$ puzzel heeft $m(n-1)+n(m-1)$ verbindingsstukken.

Opgave 4

Ik tel $18$ verschillende vormen. Ik gebruik de volgende notatie:

• $Z$ staat voor een rechte zijde aan de rand.
• $I$ staat voor een zijde met inwendige verbinding.
• $U$ staat voor een zijde met uitwendige verbinding.
• Ik noem de zijden achter elkaar in de richting van de klok.
• Hoekstukken: $ZZIU$, $ZZUI$, $ZZII$, $ZZUU$
• Randstukken: $ZUUI$, $ZUUU$, $ZUIU$, $ZUII$, $ZIII$, $ZIIU$, $ZIUU$, $ZIUI$
• Middenstukken: $IIUU$, $IIII$, $UUUU$, $IUIU$, $IIIU$, $UUUI$

OPgave 5

Er zijn $4$ hoekstukken en $12$ randstukken. Het totaal van hoek- en randstukken moet altijd even zijn dus moet het missende stuk een middenstuk zijn. Omdat $2m+2n-4=16$ moet $m+n=10$. De puzzel moet $5\times5$, $6\times 5$, $7\times3$, $8\times2$ of $9\times 1$ zijn. Er zijn $7$ middenstukken en een ontbreekt. De enige van deze formaten met $8$ middenstukken is $6\times4$. 

Verder omdat het aantal $I$’s en $U$’s gelijk moet zijn is het ontbrekende stuk een $UUUI$.

OpgAve 6

Als $m$ en $n$ gelijk zijn aan $1$ is je puzzel zo gemaakt. Als $m$ en $n$ gelijk zijn aan $2$ is één vorm genoeg. Als $m$ of $n$ gelijk zijn aan $1$ of $2$ zijn $3$ vormen genoeg. Het voorbeeld laat een patroon zien dat te gebruiken is in alle andere gevallen.