De opgave Pjotr heeft een bad met een stop in de bodem dat hij kan vullen met twee identieke kranen. Het water stroomt uit beide kranen met dezelfde constante snelheid, en het bad loopt (als de stop er niet in zit) met een constante snelheid leeg. Op maandag laat Pjotr het bad tot de rand toe vol lopen door één kraan volledig open te draaien, waarna hij de stop eruit trekt en wacht tot het bad weer leeg is. Pas als het bad leeg is, draait hij de kraan weer dicht. Op dinsdag laat hij het bad tot de rand toe vol lopen door beide kranen volledig open te draaien, waarna hij de stop eruit trekt en wacht tot het bad weer leeg is. Pas als het bad leeg is, draait hij de kranen weer dicht. Op beide dagen is Pjotr precies $45$ minuten bezig geweest van het opendraaien van de kraan/kranen tot het weer dichtdraaien ervan. Hoeveel minuten duurt het om een vol bad helemaal leeg te laten lopen als beide kranen uit staan?

Dit is een gecompliceerde opgave, sowieso al om de opdracht te begrijpen. Als gegeven hebben we een situatie op maandag en een situatie op dinsdag. Het doel is om te achterhalen hoelang een specifieke andere situatie zou duren. Als eerste ging ik de grootheden namen geven. In verhaaltjessommen ben ik niet al te best, maar als ik letters ga verbinden aan de verschillende termen, dan wordt het pad naar de oplossing vaak duidelijker.

Bij de Wiskunde Olympiade is het ook vaak belangrijk om na te denken over de 'soort' opgave waarmee je te maken hebt. Deze opgave deed mij een beetje denken aan zo'n typische natuurkundesom, waarbij je de snelheid en de tijd hebt, maar niet de afstand.

Met deze twee eerste ideeën probeerde ik wat te knutselen aan deze opgave. Ik besloot de volgende namen te geven:

• Leegloopsnelheid van het bad als de kranen dicht zijn = $l$
• Stroomsnelheid van één kraan = $k$
• Volume van het bad = $b$

Nu hebben we ook de volgende formule: uitstroomsnelheid = volume/tijd. Als we deze formule ombouwen door aan beide kanten met tijd te vermenigvuldigen en aan beide kanten door uitstroomsnelheid te delen, krijgen we: tijd = volume/uitstroomsnelheid.

Het gevraagde is: "Hoeveel minuten duurt het om een vol bad helemaal leeg te laten lopen als beide kranen uit staan?" We zetten dit in letters om: het volume dat we leeg laten lopen is dat van een compleet bad, dus een volume van één $b$. De leegloopsnelheid is de snelheid van het bad zonder toestroom van de kranen, dus $l$. De gevraagde tijd is dus: $t=\frac{b}{l}$.

Maandag

Aan de hand van deze termen kunnen we een vergelijking maken van de gegevens in de vraag. Op maandag geldt de volgende situatie: "Op maandag laat Pjotr het bad tot de rand toe vol lopen door één kraan volledig open te draaien, waarna hij de stop eruit trekt en wacht tot het bad weer leeg is. Pas als het bad leeg is, draait hij de kraan weer dicht." Aan het einde van de vraagstelling staat ook dat het vullen en weer laten leeglopen van het bad op zowel maandag als dinsdag in totaal $45$ minuten duurde.

Wat betreft het vollopen: Pjotr laat het gehele volume vollopen met één kraan, dus het volume is $b$, namelijk het totale volume van het bad, en de instroomsnelheid is in dit geval die van één kraan: $k$. Dit geeft: vollooptijd = $\frac{b}{k}$.

Nu voor het leeglopen op maandag: er is gegeven dat het hele bad leegloopt, dus loopt er weer een volume van $b$ leeg. Naast dat het bad van zichzelf leegloopt, is er ook een toestroom van water, aangezien er nog een kraan openstaat. De totale leegloopsnelheid is in dit geval $l - k$. Dit geeft dus: leeglooptijd = $\frac{b}{l-k}$.

Dit is te visualiseren door een bad voor te stellen waarbij aan de onderkant $10$ liter water per minuut uitstroomt, terwijl er door een kraan een continue toestroom is van $8$ liter water per minuut. De totale snelheid waarmee het bad dan leegloopt is $10 - 8 = 2$ liter water per minuut. Door getallen in te vullen kan je een formule concreet maken voor jezelf. Zo is het makkelijker aan te tonen of je gedachtegang logisch is. Het is belangrijk om te begrijpen op welke manier je formules omschrijft. Als je formules bedenkt en die zomaar gaat invullen zonder te checken of ze logisch zijn, loop je het risico een fout te maken. We weten dat de totale tijd op maandag $45$ minuten was en dat de totale tijd ook gelijk is aan de vollooptijd + leeglooptijd. En dit besef is naar mijn mening de crux van de opgave, want nu kan je een vergelijking maken:

vollooptijd + leeglooptijd = $45$ minuten.

Dit kunnen we nu weergeven in de eerder aangetoonde formules:

$\frac{b}{k}+\frac{b}{l-k}=45$.

Dinsdag

Nu willen we ook kijken naar de vergelijking van dinsdag. Deze willen we op eenzelfde manier formuleren. De volloopsnelheid is nu de snelheid van twee kranen, oftewel twee keer de snelheid van een kraan. (Als je dit opnieuw aannemelijk voor jezelf wilt maken, probeer dan dezelfde denkstap te maken als bij de leegloopsnelheid op maandag.)

vollooptijd = $\frac{b}{2\cdot k}$.

De leegloopsnelheid is nu $l - 2 \cdot k$. Daarmee wordt de leeglooptijd op dinsdag:

leeglooptijd = $\frac{b}{l-2\cdot k}$.

We weten dat de totale tijdsduur van dinsdag ook $45$ minuten was, dus geldt:

vollooptijd + leeglooptijd =

$\frac{b}{2\cdot k}+\frac{b}{l-2\cdot k}=45$.

Oplossing

Omdat de tijdsduur op zowel maandag als dinsdag $45$ minuten was, mogen we de twee vergelijkingen van de tijdsduur op maandag en dinsdag gelijkstellen. Dan krijgen we:

$\frac{b}{k}+\frac{b}{l-k}=\frac{b}{2\cdot k}+\frac{b}{l-2\cdot k}$.

Als we nu delen door $b$ krijgen we:

$\frac{1}{k}+\frac{1}{l-k}=\frac{1}{2\cdot k}+\frac{1}{l-2\cdot k}$.

De noemers gelijkmaken en de breuken optellen geeft:

$\frac{(l-k)+k}{k\cdot (l-k)}=\frac{(l-2\cdot k)+2\cdot k}{2\cdot k\cdot(l-2\cdot k)}$.

Nu merken we op dat de vergelijking kan worden versimpeld door de haakjes weg te halen in de teller aan beide kanten:

$\frac{l}{k\cdot (l-k)}=\frac{l}{2\cdot k\cdot(l-2\cdot k)}$.

Door nu $\frac{l}{k}$ weg te delen vinden we:

$\frac{1}{l-k}=\frac{1}{2\cdot(l-2\cdot k)}$.

Daarna draaien we de breuken om:

$l-k=2\cdot l-4\cdot k$.

Na vereenvoudigen krijgen we:

$l=3\cdot k$.

We willen dus de waarde van de uitdrukking $t=\frac{b}{l}=\frac{b}{3\cdot k}$ vinden en hiervoor moeten we het laatste ongebruikte gegeven gebruiken: de tijd die verstreek op maandag en dinsdag was niet alleen gelijk, maar exact $45$ minuten. De vergelijking van maandag of dinsdag oplossen geeft nu de gewenste vergelijking. Ik doe het hier nu voor met de vergelijking van maandag:

$45=\frac{b}{k}+\frac{b}{l-k}=\frac{b}{k}+\frac{b}{3\cdot k-k}=\frac{b}{k}+\frac{b}{2\cdot k}=\frac{3\cdot b}{2\cdot k}$.

$\frac{b}{k}=45\cdot \frac{2}{3}=30$, dus $\frac{b}{3\cdot k}=\frac{30}{3}=10$.

Het gevraagde antwoord is dus $10$ minuten.

Nu nog een opgave aan jou om het antwoord te controleren door de vergelijking van dinsdag ook gelijk te stellen aan $45$ minuten en te kijken of daar hetzelfde antwoord uitkomt.

Veel succes!

Als je dit leuk vond: een nieuwe eerste ronde van de Wiskunde Olympiade zal weer in januari van start gaan. Deze vindt plaats van 20 tot en met 31 januari 2025 op de scholen in Nederland. Hieraan mag elke middelbare scholier van klas 1 t/m klas 5 meedoen, dus zorg dat jouw school zich inschrijft en geef je op bij je docent!