Twee verschillende lijnen in één vlak zijn altijd concurrent tenzij ze parallel zijn. Met drie of meer lijnen is concurrentie opvallender. Er zijn vier bekende gevallen waar een drietal speciale lijnen in driehoeken altijd concurrent zijn. Dit zijn de zwaartelijnen (a), de bissectrices (b), de hoogtelijnen (c) en de middelloodlijnen (d). Zie figuur 1.

Ik kies voor de bissectrices (b) in dit artikel, want zij veroorzaken twee gevallen van wiskundige concurrentie.

Het eerste geval is heel bekend. Alle punten van een bissectrice liggen op een gelijke afstand van de twee zijden van de hoek die ze doormidden snijden. Dus als je twee bissectrices in een driehoek tekent, snijden ze elkaar in een punt dat een gelijke afstand heeft tot alle drie zijden van de driehoek. Dit punt moet dus ook op de derde bissectrice liggen en alle drie bissectrices zijn concurrent. Vanwege deze drie gelijke afstanden is dit punt ook het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Zie figuur 2.

Het tweede geval is verassender en hier volgen een paar voorbereidende vragen.

 

Opgave 1 De drie bissectrices verdelen de zijden van een driehoek in zes segmenten. Zie figuur 3. Gebruik de sinusregel om de lengtes van deze segmenten uit te drukken in termen van de oorspronkelijke zijden $a$, $b$, en $c$ van de driehoek.

Opgave 2 De ingeschreven cirkel laat drie raakpunten achter op de zijden van de driehoek en deze drie punten verdelen de zijden van de driehoek in zes segmenten ($AF$, $FB$, $BD$, $DC$, $CE$ en $EA$ in figuur 4). Druk de lengtes van deze segmenten uit in termen van de oorspronkelijke zijden $a$, $b$, en $c$ van de driehoek. Het feit dat de lengte $x = BD = BF$ geeft een clou.

Opgave 3 In figuur 5 zijn twee punten op zijde $a$ van de driehoek te zien. Een is het snijpunt van de bissectrice uit hoek $A$ met zijde $a$ en de andere is het raakpunt van de ingeschreven cirkel op zijde $a$. Laat zien dat de driehoek gelijkbenig moet zijn als deze twee punten samenvallen.

Als we kijken naar een gelijkbenige driehoek met zijn drie raakpunten aan de ingeschreven cirkel is het duidelijk, vanwege de symmetrie, dat de drie lijnen van hoekpunten naar tegenovergestelde raakpunten concurrent moeten zijn met het punt van concurrentie op de symmetrieas. Dit lijkt een heel special geval te zijn. Zie figuur 6.

En nu komt de verrassing. Ik teken met mijn tekenprogramma een driehoek met de drie lijnen vanuit de hoeken van de driehoek naar de tegenoverliggende raakpunten. Nu kan ik het bovenste hoekpunt bewegen terwijl alle tekenvoorschriften behouden worden. Zodoende krijg ik allerlei driehoeken en de drie lijnen van de hoeken naar de raakpunten blijken altijd concurrent! Zie figuur 7 voor een paar voorbeelden. Visueel en psychologisch is dit heel overtuigend maar dat is nog geen bewijs.

Op zoek naar een bewijs teken ik vanuit de hoekpunten $A$ en $B$ lijnen naar de tegenoverliggende raakpunten. Het punt waar ze elkaar snijden noem ik punt $P$ en ik teken het segment $CP$. Wat ik moet bewijzen is dat de verlenging van $CP$ door $F$ zou gaan. Zie figuur 8.

Opgave 4 Bewijs dat de verhouding $x : y$ gelijk is aan de drie oppervlakteverhoudingen in figuur 9. Wat is deze verhouding in termen van de zijde $a$, $b$ en $c$ van driehoek $ABC$?

Opgave 5 Doe hetzelfde vanuit zijde $b$. Zie figuur 10.

Kijk nu naar figuur 11 waar de groene en gele oppervlaktes een verhouding hebben volgens opgave 4 en de groene en paarse oppervlaktes een verhouding hebben volgens opgave 5.

Opgave 6 Wat is dan de verhouding van de gele en paarse oppervlaktes en hoe is dat een bewijs dat de verlenging van lijnstuk $CP$ door $F$ zou gaan?

Concurrente lijnen snijden in één punt. Collineaire punten liggen op één lijn. Als toegift nog een mooi voorbeeld waar de bissectrices een hoofdrol spelen: