Er was eens een oude Arabier die 17 kamelen bezat. Toen de man zijn einde voelde naderen, wist hij dat de tijd gekomen was om zijn bezit te verdelen onder zijn drie zonen. Volgens de traditie zou de oudste zoon 1/2 deel van zijn totale bezit erven, de tweede zoon 1/3 deel en de jongste 1/9 deel. 

Dit leek echter een onmogelijke taak. 17 was niet te delen door 2, niet door 3 en niet door 9. En een kameel slachten om het beest in stukken te verdelen, wilde de oude man niet. Hij worstelde vele nachten met dit probleem, terwijl zijn zoons om hem heen zaten. Zij wisten ook niet hoe ze dit probleem konden oplossen. 

Ten einde raad liet de oude man een wijze vrouw uit het dorp bij zich komen. Hij legde het probleem voor. De vrouw dacht geen moment na, vertrok en kwam even later terug met haar eigen kameel. Het was haar enige bezit, maar ze zei: ‘Hier, neem mijn kameel en uw probleem is opgelost.’

De oude man was heel gelukkig. Hij schonk zijn oudste zoon 9 kamelen, de helft van 18. Zijn tweede zoon kreeg 6 kamelen, 1/3 deel van 18. En de jongste kreeg er 2, 1/9 deel van 18. Zo verdeelde hij zijn 17 kamelen en hield er een over. Die schonk hij terug aan de wijze vrouw om even later tevreden zijn laatste adem uit te blazen.

De moraal van bovenstaande parabel is: ga op zoek naar de achttiende kameel als je een probleem niet direct kunt oplossen!

Vragen

Bij het lezen van dit verhaal schoten mij direct enkele vragen te binnen:

1. Is er een verdeling met drie zonen die wél precies 1 is? Dat betekent: zijn er gehele getallen $a, b$ en $c$ met $a < b < c$, waarvoor geldt dat $1/a + 1/b + 1/c$ gelijk is aan 1?
2. Bestaat er een verdeling op dezelfde manier als in vraag 1 onder vier zonen?
3. Is er ook een verdeling met vijf zonen?

Het antwoord op de eerste vraag is ja. Er is precies één drietal gehele getallen $a, b$ en $c$ met $a < b < c$, waarvoor geldt dat $1/a + 1/b + 1/c = 1$.

Uit de parabel volgt direct dat het antwoord op vraag 2 ja is: 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 = 1. Maar zijn er nog meer oplossingen? Of is het viertal (2, 3, 9, 18) de enige verdeling die mogelijk is? In het novembernummer geven we de antwoorden. (zie: http://pythagoras.demo.fizz.nl/de-achttiende-kameel)

Variant

In De man die kon rekenen, een boek over recreatieve wiskunde van de Braziliaanse schrijver Júlio César de Mello e Souza (maar gepubliceerd onder het pseudoniem Malba Tahan), staat een aardige variant met 35 kamelen. Je zou dit de commerciële variant van de achttiende kameel kunnen noemen, want door het aanbrengen van de 36ste kameel wordt de verdeling 18, 12 en 4, samen 34 kamelen. De eigenaar van de 36ste kameel (hier nu een man) krijgt zijn kameel terug en – als beloning voor zijn medewerking – een extra kameel.