Deelbaarheid

Deelbaarheid

Soms kan het heel handig zijn om te weten of iets deelbaar is door een bepaald getal, bijvoorbeeld om te kijken of een getal een priemgetal is of wanneer je eerlijke teams wilt maken met even veel personen per team.

Stel je voor: je hebt 50904 mensen en je wilt eerlijke groepen maken, oftewel je wilt groepjes maken waarbij elke groep evenveel personen heeft. Bij groepjes van $2$ is het makkelijk te zien: alle even getallen zijn deelbaar door $2$. Toch is het een stuk moeilijker om te zien of we eerlijke groepjes kunnen maken voor andere getallen, zoals groepjes van $3$ of groepjes van $7$. Tenminste het is een stuk moeilijker als je niet de juiste trucjes weet. We gaan nu zelf alle trucjes bekijken voor de getallen van $1$ t/m $10$.

De trucjes

Voordat we bij de trucjes zelf komen gaan we een paar getallen samenvoegen op moeilijkheidsgraad van het bijbehorende trucje en hoe snel je dit trucje uit je hoofd kan doen.

oOO

1


Deze is flauw, elk getal is natuurlijk deelbaar door $1$.

2


Voor $2$ weet eigenlijk iedereen zelf ook het trucje al. Als het laatste cijfer even is (dat betekent: deelbaar door $2$), dan is het getal deelbaar door $2$.

5


Voor $5$ geldt dat wanneer het getal eindigt op een $5$ of op een $0$, dan is het getal deelbaar door $5$.

10


Voor $10$ geldt dat wanneer het getal eindigt op een $0$, dan is het getal deelbaar door $10$.

ooO

3


Voor $3$ is de manier dat je de som moet nemen van alle cijfers van het getal. Met andere woorden, neem bij het getal $xyz$ de som $x + y + z$. Is die som deelbaar door $3$ dan is $xyz$ ook deelbaar door $3$.

4


Voor $4$ is het een stuk onbekender. Een getal is deelbaar door $4$ wanneer er geldt dat het getal gevormd door de laatste twee cijfers deelbaar is door $4$.

6


Voor $6$ geldt het volgende trucje: is het getal deelbaar door $3$ en deelbaar door $2$, dan is het getal deelbaar door $6$.

8


Voor $8$ geldt: als het getal gevormd door de laatste $3$ cijfers deelbaar is door $8$ dan is het getal zelf deelbaar door $8$.

9


Voor $9$ geldt hetzelfde foefje als bij $3$, alleen dan moet de som van de cijfers van het getal deelbaar zijn door $9$ in plaats van door $3$.

ooo

7


Voor $7$ is het trucje jammer genoeg een stuk moeilijker dan bij alle andere getallen onder de $10$. Voor $7$ geldt het volgende: neem het getal $abcd$, dan geldt $abcd$ is deelbaar door $7$ als $abc + 5d$ deelbaar is door $7$. Dit op zichzelf maakt het niet veel makkelijker om te zien of het getal $abcd$ deelbaar is door $7$, maar dit trucje kan je net zo lang herhalen totdat je op een klein getal uitkomt waarvan je wel weet of het deelbaar is door $7$ of niet.

Hoe en waarom werken de trucjes?

We gaan de 1-ster trucjes niet bewijzen aangezien deze makkelijke trucjes snel te herleiden zijn uit de trucjes die we gaan gebruiken bij de 2-ster trucjes. We gaan elk van deze methodes bekijken aan de hand van het getal $abcd$, onthoud
hierbij wel dat deze manieren ook werken voor getallen groter dan $9999$ en getallen kleiner dan $1000$.

ooO

3


Neem het getal abcd. We kunnen dit getal herschrijven als: $1000a + 100b + 10c + d$. Dit kunnen we daarna weer herschrijven als: $(999a + 99b + 9c) + a + b + c + d$ en merk hier op dat $999a + 99b + 9c$ altijd deelbaar is door $3$, want er geldt:

$$\frac{999a + 99b + 9c}{3} = 333a + 33b + 3c.$$

Daarom is $abcd$ deelbaar door $3$ als $a + b + c + d$ deelbaar is door $3$.

4


Neem weer het getal $abcd$. We kunnen dit getal herschrijven als: $1000a + 100b + 10c + d$ en dit kunnen we weer herschrijven als: $100(10a + b) + 10c + d$ en merk hier op dat $100$ ook deelbaar is door $4$ en dus is $100(10a + b)$ deelbaar door $4$.

Daarom geldt dus: als $10c + d$ deelbaar is door $4$, dan is $100(10a + b) + 10c + d$ deelbaar door $4$ en dus is $abcd$ deelbaar door 4.

6


Voor $6$ geldt dat $6 = 2 \times 3$. Het interessante hiervan is, is dat $2$ en $3$ relatief priem zijn (copriem), dit betekent dat alle delers van $2$ geen delers zijn van $3$. Hierom geldt dat alle getallen die deelbaar zijn door $2$ en door $3$
ook automatisch deelbaar zijn door $6$. 

8


Voor $8$ gebruiken we hetzelfde idee als bij $4$. Het getal abcd kunnen we herschrijven als: $1000a + 100b + 10c + d$. Merk hier op dat $1000$ deelbaar is door $8$ en daardoor dus ook $1000a$ deelbaar is door $8$. Er geldt dus dat als $100b + 10c + d$ deelbaar is door $8$, dan is ook $1000a + 100b + 10c + d$ deelbaar door $8$ en dus is $abcd$ deelbaar door $8$.

9


Voor $9$ gebruiken we hetzelfde idee als bij $3$. Neem het getal $abcd$. Dat kunnen we wederom herschrijven als: $1000a + 100b + 10c + d$. Dit kunnen we daarna wederom herschrijven als: $(999a + 99b + 9c) + a + b + c + d$. Merk weer op dat $999a + 99b + 9c$ altijd deelbaar is door $9$, want er geldt:

$$\frac{999a + 99b+ 9c}{9}=111a+11b+1c.$$

Daarom geldt: als $a + b + c + d$ deelbaar is door $9$, dan is $abcd$ ook deelbaar door $9$.

Bonus ooo

7


Neem het getal $abcd$. Als we hier ons trucje op uitvoeren krijgen we:

$$\frac{1}{10}\left(abcd - d\right) + 5d.$$

Dit kunnen we ook schrijven als:

$$\frac{1}{10}abcd - \frac{1}{10}d+5d$$

en dit is natuurlijk gelijk aan:

$$\frac{1}{10}abcd - 4{,}9d.$$

We kunnen nu dit getal met $10$ vermenigvuldigen. Als dit getal namelijk deelbaar is door $7$, dan is $10$ keer dat getal ook deelbaar door $7$. Als we dit doen met ons getal krijgen we: $abcd - 49d$ en we weten dat $49d$
altijd deelbaar is door $7$. Dit zorgt ervoor dat $abcd - 49d$ alleen deelbaar is door $7$ als $abcd$ ook deelbaar is door $7$, wat ons originele getal was!

Voorbeeld

Laten we onze originele vraag er nog eens bij pakken: "Stel je voor: je hebt 50904 mensen en je wilt eerlijke groepen maken, oftewel je wilt groepjes maken waarbij elke groep evenveel personen heeft." Laten we nu kijken of we dit kunnen doen met behulp van onze trucjes!

 

Is 50904 deelbaar door ...

1


$50904$

  v

2


$5090\underline{4}$

  v

3


$5+0+9+0+4 = 18$, $\frac{18}{3} = 6$

  v

4


$509\underline{04}$

  v

5


$5090\underline{5}$

  x

6


$5+0+9+0+4 = 18$, $\frac{18}{3} = 6$ en: $5090\underline{4}$

  v

7


$50904 \rightarrow 5110 \rightarrow 5110 \rightarrow 56$, $\frac{56}{7}=8$

  v

8


$50\underline{904}$

  v

9


$5+0+9+0+4=18$, $\frac{18}{9}=2$

  v

10


$5090\underline{4}$

  x

 

       
 

Opgaven

  1. Bekijk met behulp van de trucjes alle delers van $1$ t/m $10$ van deze getallen: $132$, $364$, $2520$, $9876$, $73931$.
  2. Voor deelbaarheid door $11$ geldt dat als de alternerende $(+ - + - \cdots + -)$ som (voor het getal $abcd$ geldt dus: $+ a - b + c - d$) van de getallen gelijk is aan $0$, dan is het getal
    deelbaar door $11$. Onderzoek van de getallen van opdracht $1$ of ze deelbaar zijn door $11$.
  3. Bedenk een trucje voor deelbaarheid door $14$. 
    Hint: bekijk het bewijs van deelbaarheid door $6$.
  4. Een perfect getal is een getal waarbij de som van alle delers (behalve het getal zelf) bij elkaar het getal zelf worden. Het eerste perfecte getal is $6$. Dit komt omdat $6$ deelbaar is door $1$, $2$ en $3$ en $1 + 2 + 3 = 6$. Maak nu gebruik van de geleerde deelbaarheidstrucjes om het volgende perfecte getal te vinden.