De opGave We noemen een verzameling van minstens twee verschillende positieve gehele getallen eeuwig als het grootste getal gelijk is aan $100$. We gaan kijken naar het gemiddelde van alle getallen in een eeuwige verzameling, dat noemen we het gemiddelde van de verzameling. Bijvoorbeeld: het gemiddelde van de eeuwige verzameling $\{1, 2, 20, 100\}$ is $\tfrac{123}{4}$ en het gemiddelde van de eeuwige verzameling $\{74, 90, 100\}$ is $88$. Bepaal alle gehele getallen die kunnen voorkomen als het gemiddelde van een eeuwige verzameling.

Nu is de vraag: hoe pakken we zo'n opgave aan? Er zijn veel manieren om aan een opgave te beginnen. Wat mij vaak helpt, is om eerst paar willekeurige getallen in te vullen en kijken wat er gebeurt; wellicht kunnen we dan al een patroon herkennen. In de opgave staat al zo'n voorbeeld: de eeuwige verzameling $\{74, 90, 100\}$ heeft een gemiddelde van $88$, want $\frac{74 + 90 + 100}{3}= 88$ . Laten we nu de verzameling $\{1, 5, 8, 34, 76, 100\}$ bekijken; deze heeft een gemiddelde van $\frac{1+ 5+ 8+ 34+ 76+ 100}{6}=\frac{371}{3}$. Dit is niet geheel en dus is $\{1, 5, 8, 34, 76, 100\}$ geen eeuwige verzameling met een geheel gemiddelde. Een andere willekeurige verzameling is $\{8, 100\}$ waarbij het gemiddelde $\frac{8 + 100}{2}= 54$ is. Dus $\{8, 100\}$ is wel een eeuwige verzameling met een geheel gemiddelde.

Je merkt nu al snel op dat we met een verzameling van twee getallen veel makkelijker kunnen rekenen dan een verzameling van meer getallen. Dus laten we eens kijken naar verzamelingen van twee getallen. Zo geeft de verzameling $\{2, 100\}$ een gemiddelde van $51$, $\{3, 100\}$ geeft een gemiddelde van $51\tfrac{1}{2}$ en $\{4, 100\}$ een gemiddelde van $52$. Ook zien we dat $\{6, 100\}$ een gemiddelde heeft van $53$. Hiermee kunnen we een patroon ontdekken: als je een verzameling hebt met twee getallen en je telt $2$ bij een van de twee getallen op, dan gaat het gemiddelde met $1$ omhoog. Dus $\{8, 100\}$ geeft een gemiddelde van $53 + 1 = 54$ en $\{10, 100\}$ geeft een gemiddelde van $54 + 1 = 55$. Dit kunnen we doen tot de eeuwige verzameling $\{98, 100\}$ die een gemiddelde van $99$ geeft. We kunnen dit trucje niet nog een keer doen omdat geen getal meerdere keren mag voorkomen of groter mag zijn dan $100$.

Met dit patroon zijn we erachter gekomen dat $51$ tot en met $99$ kunnen voorkomen als gemiddelde van een eeuwige verzameling.

Maar hiermee zijn we er nog niet, want dit waren alleen de verzamelingen met twee getallen. Als we naar een verzameling kijken van drie getallen, dan is de verzameling met de hoogste getallen de verzameling $\{98, 99, 100\}$, die een gemiddelde van $99$ heeft. Het valt mij nu op dat het hoogste gemiddelde ($99$) van een verzameling van twee getallen hetzelfde is als het hoogste gemiddelde van een verzameling van drie getallen. Het gemiddelde wordt berekend met het getal $100$ en één of meer getallen lager dan $100$; dit betekent dat het gemiddelde nooit $100$ of hoger kan zijn. We weten dus dat $99$ sowieso het hoogste gehele gemiddelde is.

Nu we al redelijk wat getallen weten die kunnen voorkomen, moeten we gaan uitzoeken welke andere getallen er nog kunnen. We weten dat $51$ tot en met $99$ kunnen en dat $99$ het maximum is; we moeten dus alleen nog nagaan welke getallen lager dan $51$ gehele gemiddeldes kunnen zijn. We gaan de oplossing verdelen in twee delen; allereerst gaan we onderzoeken wat het laagste gehele gemiddelde is dat we kunnen maken, en daarna gaan we bewijzen dat alle gehele getallen tussen dit laagste getal en $51$ ook te maken zijn.

Op zoek naar het minimum

We gaan kijken naar het kleinste gehele gemiddelde voor een eeuwige verzameling. We zagen al dat bij een verzameling van twee getallen het laagste gemiddelde 51 was. Dus laten we eens uitzoeken wat het laagste gemiddelde is van een verzameling van drie getallen. Om een zo laag mogelijk gemiddelde te krijgen moeten we zo laag mogelijke getallen in de verzameling hebben. De laagste getallen in een verzameling van drie getallen zijn: $1, 2$ en $100$; lager kan niet omdat elk getal groter dan $0$ moet zijn en alle getallen verschillend moeten zijn (anders is het geen verzameling). Deze verzameling geeft een gemiddelde van $\frac{1+2+100}{3}=34\tfrac{1}{3}$. Dus het laagste gemiddelde van een eeuwige verzameling van drie getallen is $34\tfrac{1}{3}$, waardoor een gemiddelde van $34$ (of lager) bij een verzameling van drie getallen niet mogelijk is. Maar als we bij het getal $2$ er $2$ bij optellen krijgen we een gemiddelde van $\frac{1+(2+2)+100}{3}=\frac{105}{3}=35$ . Dit is wel geheel en dus is $35$ het laagste gehele gemiddelde bij een verzameling van drie getallen.

Om een nog lager gemiddelde te krijgen moeten we gaan kijken naar verzamelingen van vier getallen. Probeer zelf eens een zo laag mogelijk gemiddelde te maken. Lukt het om $30$ te maken? En $28$? En $26$? Na veel proberen heb je waarschijnlijk wel ontdekt dat een gemiddelde van $26$ onmogelijk is en dat $27$ het kleinste gehele gemiddelde is van een verzameling van vier getallen. Zo geeft bijvoorbeeld de verzameling $\{1, 2, 5, 100\}$ een gemiddelde van $27$. Maar het gaat erg lang duren om op deze manier alle verzamelingen af te gaan. Laten we eens kijken of we dit sneller kunnen doen. Als eerste merken we op dat een gemiddelde kleiner wordt als je in een eeuwige verzameling één van de getallen (ongelijk aan $100$) kleiner maakt. Ook is het zo dat als je een getal toevoegt aan een eeuwige verzameling en dat getal is kleiner dan het huidige gemiddelde, dan wordt het gemiddelde kleiner.

Om de eeuwige verzameling met het kleinste gemiddelde te vinden, kunnen we dus beginnen met $1, 100$ en dan steeds zo klein mogelijke getallen toevoegen. Het kleinste gemiddelde is bereikt als het volgende getal dat we zouden toevoegen, groter is dan het gemiddelde. We zagen al dat een verzameling van vier getallen een minimaal gemiddelde geeft van $26$ want de laagste verzameling van vier getallen is $\{1, 2, 3, 100\}$. Zo geeft een verzameling van bijvoorbeeld acht getallen een laagste gemiddelde van $16$ bij de eeuwige verzameling $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 100\}$. Zo vinden we ook dat de verzameling met $1$ t/m $13$ en $100$ als gemiddelde $\frac{1+2+\cdots+13+100}{14}=\frac{191}{14}=13\tfrac{9}{14}$ heeft. Als we nu het getal $14$ eraan toevoegen, zien we dat het gemiddelde weer groter wordt. We weten dus dat het laagste gemiddelde $13\tfrac{9}{14}$ is. Nu moeten we nog kijken wat het laagste gehele gemiddelde is. Het kan niet $13$ zijn, want $13\tfrac{9}{14}> 13$. Maar $14$ is wel te verkrijgen met de eeuwige verzameling

$$\color{blue}{\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 18, 100\},}$$

dus het laagste gemiddelde is $14$.

Alles ertussenin

Nu we het minimum ($14$) en het maximum ($99$) hebben bepaald, moeten we nog bewijzen dat alle getallen daartussen ook bereikt kunnen worden. We kunnen eeuwige verzamelingen gaan bedenken voor een gemiddelde van $14$ tot en met $99$, maar dan zijn we eeuwig bezig. Het kan ook sneller. Neem de eeuwige verzameling hierboven met $14$ elementen. Elke keer als je bij één van de getallen in deze eeuwige verzameling $14$ optelt, wordt het gemiddelde $1$ hoger. Doe dit nu van rechts naar links, door eerst $14$ bij $18$ op te tellen (het gemiddelde wordt dan $15$), vervolgens $14$ bij $12$ op te tellen (het gemiddelde wordt dan $16$), dan $14$ bij $11$ op te tellen, et cetera. Uiteindelijk krijg je dan de eeuwige verzameling

$$\color{blue}{\{15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 32, 100\}}$$

met gemiddelde $27$, en ben je dus alle waarden van $14$ t/m $27$ tegengekomen als gemiddelde. Doordat we bij het hoogste getal na de $100$ zijn begonnen, blijft het rijtje getallen bovendien steeds stijgend, zodat het steeds zeker uit $14$ verschillende getallen bestaat en de getallen dus daadwerkelijk een (eeuwige) verzameling blijven vormen. We kunnen dit nog een keer doen door eerst $14$ bij $32$ op te tellen, vervolgens $14$ bij $26$ et cetera, en komen dan uit op een verzameling met gemiddelde $40$. Doen we dit nog een keer, dan komen we uiteindelijk uit op de verzameling

$$\color{blue}{\{43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 60, 100\}}$$

met gemiddelde $53$. In het begin hadden we al laten zien dat alle gemiddelden $51$ tot en met $99$ bereikt kunnen worden door eeuwige verzamelingen van twee even getallen. Nu weten we dus dat $14$ het minimum is, dat alle getallen van $14$ tot en met $53$ voldoen, dat alle getallen van $51$ tot en met $99$ voldoen en dat $99$ het maximum is. Dus alle getallen van $14$ tot en met $99$ voldoen en kunnen dus gemiddelde zijn van een eeuwige verzameling. En daarmee is de opgave opgelost!