Een kegelsnede is een kromme die ontstaat wanneer je een plat vlak door een dubbele kegel snijdt. Het levert vier mogelijke vormen op: een cirkel, een ellips, een parabool of een hyperbool. Instrumenten waarmee krommen zoals kegelsneden getekend kunnen worden speelden een belangrijke rol in de antieke en vroegmoderne wiskunde. Het was met name in Nederland een belangrijk onderwerp onder de volgelingen van Descartes. Tegenwoordig kunnen we deze constructies tot leven brengen door de bewegende onderdelen die deze wiskundigen in hun teksten beschreven te 3D-printen.

Ik heb modellen gemaakt van verschillende van deze instrumenten die iedereen thuis kan 3D-printen. Deze bestanden zijn beschikbaar viamijn site. Zie figuur 1 voor een voorbeeld van een van de acht instrumenten in actie. Een praktische workshop met deze instrumenten kan een gelegenheid zijn voor zowel historische als wiskundige reflectie.

Een instrument voor het tekenen van een hyperbool. De afbeelding uit het werk van Frans van Schooten uit 1646 is interactief gemaakt door de 3D-geprinte versie van het instrument eroverheen te plaatsen.

Laten we, om te beginnen met de geschiedenis, ons afvragen: wat was het doel van deze instrumenten? Hadden ze praktische toepassingen? Waren ze de Geogebra van hun tijd?

Het tekenen van een hyperbool met behulp van twee roterende "hoeken" ("X-vormige" linialen). Isaac Newton, brief aan John Collins, 20 augustus 1672. (https://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-03977/84)

Neem bijvoorbeeld het instrument in figuur 2, getekend door Isaac Newton. Deze figuur vertelt ons een aantal dingen, en niet alleen een bepaalde manier om hyperbolen te tekenen. We zien dat Newton de tijd nam om deze instrumenten als fysieke objecten te tekenen, inclusief dikte, schaduw enzovoort. Hij tekende ook een hand (inclusief de mouw van een overhemd) die een pen vasthoudt. Het is duidelijk dat de empirische realiteit van dit instrument belangrijk was voor Newton. Vanuit een strikt wiskundig oogpunt had hij hetzelfde kunnen uitdrukken in termen van abstracte lijnen en punten. Maar hij deed de extra moeite om de fysieke aspecten van de hele opstelling in een gedetailleerde tekening weer te geven. Merk ook op dat deze tekening afkomstig is uit een brief aan een andere vooraanstaande wiskundige, John Collins. Dat wil zeggen, deze figuur is getekend voor een publiek van "onderzoekswiskundigen", om het zo maar te zeggen, en bijvoorbeeld niet voor onderwijs of handarbeiders.

Eigenlijk worden de fysieke aspecten van de configuratie beter weergegeven dan de wiskundige inhoud, zou je kunnen concluderen? De metrische nauwkeurigheid van de figuur is namelijk niet erg goed. In rood is de kromme toegevoegd die daadwerkelijk door de getoonde instrumenten wordt getekend (met de 3D-geprinte instrumenten kun je dit met eigen ogen en handen ervaren). De gestippelde kromme die Newton zelf tekende wijkt enigszins af. Dit is ironisch, aangezien het hele doel van de figuur is om Newtons manier van het tekenen van hyperbolen uit te leggen en te promoten.

We blijven dus met een paradoxale indruk achter. Door materiële linialen, spijkers en pennen te tekenen in plaats van abstracte lijnen en punten, lijkt Newton de praktische bruikbaarheid van het instrument te willen benadrukken. De geringe overeenkomst tussen de getekende figuur en de kromme die we daadwerkelijk ervaren wanneer we het zelf proberen, suggereert echter het tegenovergestelde: dat dit een theoretische "denkconstructie" is, losgekoppeld van de praktijk.

Diezelfde paradox geldt bijvoorbeeld ook voor Descartes. Ook hij verwerkte diverse instrumenten in zijn meetkunde, waarvan er ook één is opgenomen in het 3D-printpakket. Net als Newton nam Descartes figuren op die deze instrumenten in detail fysiek weergaven. Degenen die aannamen dat deze instrumenten tastbare objecten waren, stonden echter voor een verrassing, aldus biograaf Aubrey: "Alle geleerden bezochten [Descartes], en velen van hen wilden dat hij hun zijn instrumenten liet zien. Hij trok dan een lade tevoorschijn en liet hun een passer zien waarvan een van de poten gebroken was; en als liniaal gebruikte hij een dubbelgevouwen vel papier." We zien dus dat zelfs "geleerde" tijdgenoten de ambivalentie van theorie en praktijk in deze werken verwarrend vonden.

Om Descartes te bezoeken, moesten deze "geleerden" naar Nederland komen, waar Descartes vele jaren woonde. Onder invloed van Descartes zette een jongere generatie Nederlandse wiskundigen zijn werk voort. Figuur 1 toont een instrument van Frans van Schooten. In het 3D-geprinte pakket vind je ook instrumenten van Johan de Witt. Dit is dezelfde De Witt die bekender is als staatsman. In zijn geboortestad Dordrecht kunt u een prominent standbeeld van Johan en zijn broer bezoeken. Het is een korte wandeling vanaf het treinstation, en als extraatje kunt u onderweg de Johan de Wittbrug oversteken. Deze monumenten eren Johans politieke carrière en niet van zijn prestaties als wiskundige. Maar het uitstekende wiskundige werk dat Johan in zijn jonge jaren verrichtte, verdient zeker een eigen plaats in de geschiedenisboeken.

De obsessie met geometrische instrumenten was geenszins beperkt tot Nederland of de 17e eeuw. Toen Van Schooten zijn instrumenten introduceerde, sprak hij zijn vertrouwen uit dat de oude Grieken ook zeer geïnteresseerd waren in dergelijke instrumenten, hoewel deze kennis tijdens de Middeleeuwen in de vergetelheid raakte: "aengesien door ongeluckige tijden geen overblijfselen … tot ons gekomen … waer in de manier, om deselve Sneden met eene treck op een vlack te beschrijven, betoont wort." Ik denk dat van Schooten gelijk had. Er is inderdaad een oud instrument voor het tekenen van krommen dat de donkere middeleeuwen heeft overleefd. Het is afgebeeld in figuur 3 en is opgenomen in het 3D-print pakket. Let op de realisatie van het instrument in termen van holle linialen en spijkers: precies zoals de 3D-geprinte modellen, maar hier in een manuscript dat verslag doet van het werk van Nicomedes uit ongeveer het jaar 250 voor onze jaartelling.

Een manuscriptkopie van een oud-Grieks traktaat, waarop een mechanisch instrument voor het traceren van de conchoïde te zien is. (https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10722317k/f186.item)

Waarom waren zoveel vooraanstaande wiskundigen duizenden jaren lang zo geïnteresseerd in dergelijke instrumenten? Ik denk dat een van de redenen was om ervoor te zorgen dat de wiskunde werkelijk en consistent is. Denk maar eens aan het woord "werkelijkheid": het verwijst naar werken, doen. Niets is "werkelijker" dan iets dat je zelf actief hebt gecreëerd. Newton zegt dat "fantasieën niet roekeloos verzonnen mogen worden," terwijl "de natuur altijd in overeenstemming is met zichzelf" (Newton, Principia, Boek III, Regel 3). Door meetkundige krommen te construeren met fysieke instrumenten, zorgen we ervoor dat de geometrie werkelijk en "in overeenstemming met zichzelf" is: "verzonnen fantasieën" kunnen gemakkelijk verborgen tegenstrijdigheden bevatten, maar de werkelijke fysieke realiteit niet. Tegenwoordig kunnen we ons hierin herkennen: we kennen maar al te goed AI’s die ons antwoorden geven die plausibel klinken, maar hallucinaties blijken te zijn — de "verzonnen fantasieën" van onze tijd.

Dit perspectief lost wellicht de paradox van de relatie tussen theorie en praktijk op. De instrumenten moeten nadrukkelijk praktisch zijn, omdat het hun "werkelijkheid" is die ze betrouwbaarder maakt dan "fantasieë". Maar tegelijkertijd is het doel van deze schijnbare praktische bruikbaarheid niet de daadwerkelijke toepassing, maar een abstract filosofisch punt over hoe ervoor te zorgen dat de wiskunde geen tegenstrijdigheden bevat. Als je een foto maakt met je smartphone hoor je een "camerageluid", net als een ouderwetse analoge camera, ook al zijn de mechanische onderdelen die dat geluid produceerden niet meer aanwezig. Op dezelfde manier was het in de 17e eeuw aantrekkelijk om meetkundige constructies te laten lijken alsof ze tastbaar mechanisch waren.

Tot zover de geschiedenis. Voor degenen die de instrumenten willen verkennen, wil ik ook enkele vragen voor wiskundige reflectie voorstellen. Het pakket bevat vier verschillende instrumenten van verschillende bedenkers voor het tekenen van hyperbolen (Descartes, Van Schooten, De Witt, Newton). Hyperbolen hebben twee asymptoten. Met een van de instrumenten in de hand is het interessant om na te denken over hoe het asymptotische gedrag van de kromme zich manifesteert in het mechanisme. Hoe zou je bijvoorbeeld voor Newtons constructie (figuur 2) in woorden uitleggen hoe en waarom de twee asymptoten van de hyperbool ontstaan door de beweging van het instrument? Naarmate de asymptoot wordt benaderd, worden de twee armen die het penpunt bepalen steeds meer parallel aan de asymptoot. Valt een van de armen in deze limietconfiguratie ook samen met de asymptoot of niet? Dit is een interessante vraag om te stellen voor alle hyperboolconstructies in het pakket.

Het is ook interessant om te zien wat er gebeurt als de instrumenten worden aangepast. Stel bijvoorbeeld dat we een van Newtons "V-linialen" in figuur 2 vervangen door de loodrechte "L-liniaal" die ook in het pakket zit. Als je deze vervanging uitvoert terwijl je de basispunten A en B en de "richtingslijn" GF hetzelfde houdt als in Newtons oorspronkelijke constructie, krijg je dan nog steeds een hyperbool? (Merk op dat Newtons "V-linialen" in werkelijkheid "X-linialen" zijn, zoals zijn tekening laat zien. In de reconstructie is de "achterste" helft weggelaten voor het gemak van 3D-printen, maar de volledige "X" is nodig om de complete kegelsnede te kunnen tekenen.)

Bij de constructie van Newton kun je ook proberen de richtingslijn $GF$ te veranderen. Wat gebeurt er bijvoorbeeld als we $GF$ evenwijdig aan $AB$ nemen, en op een afstand van $AB$ ervan? Welke kegelsnede krijg je dan? Laten we, in deze tijd waarin zoveel van ons leven zich op schermen afspeelt, het plezier van werken met onze handen niet vergeten. Maak meetkunde weer "werkelijk"!

Voor een moderne kijk op waarom de constructie van Newton altijd kegelsneden oplevert,  zie Courant & Robbins, What is mathematics?, IV.8.2. Newtons eigen bewijs hiervoor is te vinden in zijn Principia, Boek I, Lemma 21.