Als autodidact heeft Peter Raedschelders (1957) zich laten inspireren door de alom bekende grafische werken van M.C. Escher (1896-1972). Daarbij bedient hij zich zowel van de tekenpen als van de computer. Raedschelders werd vooral gefascineerd door de regelmatige vlakverdelingen die in het werk van Escher veelvuldig voorkomen. Enkele uitzonderingen daargelaten, gebruikt Raedschelders voor zijn vlakvullingen dierenmotieven. Toch zijn het niet alleen maar regelmatige en periodieke vlakverdelingen met steeds maar andere dierenmotieven. Raedschelders wist er soms een geheel eigen dimensie aan toe te voegen zoals in de computerprent Haïti, een vlakverdeling met semi-magische eigenschappen zoals Raedschelders dat zelf aanduidt.

Ook zogenaamde aperiodieke of niet-periodieke vlakvullingen hebben Raedschelders aandacht gehad. Zo heeft hij een tegelpatroon proberen te vinden bestaande uit één tegel waarmee het hele vlak aperiodiek kon worden opgevuld. Dus zonder ook maar enige regelmaat en symmetrie. In november 2022 ontdekte de Engelse amateurwiskundige David Smith zo'n tegel die hij naar de uiterlijke vorm de bijnaam Hoed gaf (figuur 1A). Niet veel later vond hij een tweede naar uiterlijke vorm Schildpad (figuur 1B) genoemd. Met de Hoed en zijn spiegelbeeld of omgekeerde (figuur 1C) is het hele platte vlak niet-periodiek op te vullen. Met Schildpad en zijn spiegelbeeld (figuur 1D) ook. In maart 2023 toonde Smith aan dat het met een tegel genaamd Spook (figuur 1E) ook zonder spiegelbeeld lukte.

Papegaaienraamwerk

De prent Haïti bestaat uit $64$ gestileerde papegaaien die op allerlei manieren als puzzelstukjes keurig in elkaar passen. Door de aangebrachte kleuren wordt het geheel weliswaar fleuriger, maar maakt op het eerste gezicht ook een wat chaotische indruk. Niets is minder waar.

De papegaaipatronen zijn verkregen door vervorming van de zijden van een vierkant (figuur 2). In principe is de aard van die vervormingen voor alle vier zijden hetzelfde, maar sommige vervormingen zijn gespiegeld en sommige hebben een andere richting. Ter verduidelijking zijn in figuur 3 overeenkomstige vervormingen (in- en uitstulpingen) met dezelfde kleur aangegeven.

Omdat de papegaaien op vierkanten zijn gebaseerd, zijn er met spiegelingen en rotaties met stapjes van 90° precies acht oriëntaties mogelijk (figuur 4). Die acht oriëntaties passen perfect in elkaar zodat daarmee het vlak keurig kan worden opgevuld. In Haïti is dat gedaan met 64 papegaaien, maar het hadden er veel meer kunnen zijn. Van elk van de acht oriëntaties komen er in Haïti steeds acht voor. Elke oriëntatie heeft een eigen kleur. De vier oriëntaties die ontstaan door rotaties van $90^{\rm o}$ van de papegaai links in figuur 3 hebben de kleuren groen, geel, blauw en rood, die gebaseerd op de rechter papegaai zijn roze, paars, oranje en wit gekleurd. Ga maar na.

Zo is het raamwerk van Haïti een vierkant $8$ bij $8$ rooster met in elke vierkante cel een papegaai. Die vlakvulling is niet zomaar in elkaar gezet. Neem de bovenste rij papegaaien. Daarin komen alle acht kleuren en daarmee ook alle acht mogelijke oriëntaties precies één keer voor. Voor de andere zeven rijen geldt hetzelfde. Ook komen in alle acht kolommen alle kleuren precies één keer voor.

Latijns vierkant

Een Latijns vierkant van orde n is een vierkant met $n$ rijen en n kolommen, gevuld met $n$ verschillende symbolen, waarvan elk precies één keer per rij en ook één keer per kolom voorkomt. Doorgaans bestaan die symbolen uit de natuurlijkje getallen $1$ tot en met $n$ (figuur 5). Zo zijn de alom bekende Sudoku-puzzels bijzondere gevallen van Latijnse vierkanten van orde $9$. 

De naam 'Latijns vierkant' komt van de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707- 1783) die Latijnse symbolen gebruikte in zijn vierkanten. Haïti is dus niets anders dan een Latijns vierkant van orde $8$. Daarbij kan een één op één relatie worden gelegd tussen de cijfers $1$ tot en met $8$, de acht oriëntaties van de papegaaien en de acht genoemde kleuren. Zo kan uit Haïti het Latijnse cijfer-vierkant van figuur 6 worden gegenereerd. Uit figuur 6 wordt duidelijk dat Haïti is onder te verdelen in vier $4$ bij $4$ Latijnse vierkanten die twee aan twee dezelfde structuur hebben (figuur 7).

Vermoeden van Grünbaum

Er zijn ook Latijnse vierkanten van orde $8$ waarin tevens op de beide diagonalen de cijfers 1 tot en met 8 slechts één keer voorkomen (figuur 8). Dat leidt natuurlijk tot de vraag: is er een regelmatige vlakverdeling zoals in Haïti te vinden waarbij ook op de diagonalen de acht verschillende oriëntaties slechts één keer voorkomen. Dit probleem is in zijn algemeenheid (dus ook voor andere ordes dan 8) bestudeerd door de van oorsprong Kroatische wiskundige Branko Grünbaum (1929-2018) van de University of Washington. Hij vermoedt dat dit onmogelijk is, maar bewezen is dat nog niet.

Unieke prenten

Denk in de prent Haïti nu eens alle kleuren weg. De vlakvulling zelf blijft dus ongemoeid. Houd alle acht kleuren wel bij de hand. Ga dan naar de papegaai in de linker bovenhoek. Deze kan op acht mogelijke manieren worden gekleurd. Voor de papegaai rechts daarvan in de bovenste rij zijn er dan nog zeven kleuren over. Voor de papegaai daar weer rechts van zijn er nog zes kleuren beschikbaar. Zo alle papegaaien op de bovenste rij aflopend kunnen die op

$8! = 8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1 = 40\,320$

manieren worden gekleurd. Wiskundig komt dit neer op alle mogelijke permutaties van de cijfers 1 tot en met acht. Aangezien op de bovenste rij alle acht mogelijke oriëntaties van de papegaaien voorkomen, zijn er tevens $40\,320$ verschillende manieren om de hele prent van de acht beschikbare kleuren te voorzien. Immers bij een eenmaal gekozen permutatie van de bovenste rij liggen de kleuren in de rest van de prent ook vast want aan de structuur van de verdeling is niets veranderd. Zo zijn er dus $40\,320$ unieke Haïtiprenten mogelijk. 

Eerder is al opgemerkt dat Haïti een computerprent is. Door het op een systematische manier aan te pakken kunnen al die prenten stuk voor stuk met de computer worden gegenereerd. Zo kunnen dan $40\,320$ mensen blij worden gemaakt met een heel unieke computerprent Haïti.

Als $40\,320$ mensen van een unieke Haïtiprent zijn voorzien hoeft dat nog niet het einde te betekenen. Wanneer dan een van de acht kleuren wordt vervangen door een andere kleur, kan het hele proces weer van voren af aan beginnen. Levert ook weer $40\,320$ unieke prenten, waarna er opnieuw een kleur kan worden vervangen, enzovoort. Het aantal unieke prenten lijkt zo haast onbeperkt.