VERSIE 1

Je moet meteen doorrekenen met het getal dat je al gemaakt hebt. Neem bijvoorbeeld $1129;$ als je doet $9 - 1 = 8,$ dan moet je daarna meteen verder met $8.$ Je mag dan niet eerst $1 + 2 = 3$ doen. Op deze manier kun je met het viertal $1129$ geen $24$ maken. De berekening in versie 1 heeft altijd de vorm $((a \star 6) \star c) \star d,$ waar elke $\star$ staat voor $+, -, \times$ of $\div.$ Deze versie wordt veel gebruikt op de basisschool.

VERSIE 2

Het tussenresultaat van de eerste bewerking hoeft niet meteen gebruikt te worden. Hiervan is $(9 - 1) \times (2 + 1)$ een voorbeeld. We eisen wel dat alle tussenresultaten gehele getallen zijn. Bij de oplossing $(9 - 1) \times (2 + 1)$ voor $1129$ is dat het geval. Voor bijvoorbeeld $3377$ is er echter niet zo'n oplossing.

VERSIE 3

Ook de laatstgenoemde beperking -- de tussenresultaten zijn gehele getallen -- vervalt. Dan is er voor $3377$ ook een oplossing. Welke?

Spelletje

Ik heb een spelletje geschreven, genaamd Flippo, dat gebaseerd is op de tweede versie van het 24-spel. Later heb ik nog een versie geschreven, die voldoet aan de derde beschrijving. Dit spel doopte ik Flipplus. Er wordt een viertal getallen gekozen. De bedoeling is om binnen twee minuten de oplossing te vinden. De opgaven variëren in moeilijkheidsgraad van zéér eenvoudig tot heel moeilijk. Daarnaast is er een speciale docentenversie, die kan worden gebruikt om geschikte opgaven voor de leerlingen te selecteren. Mochten de leerlingen na een tijd alle mogelijke sommen een keer gezien hebben (het zijn er $404,$ zie daarvoor 'De post' in Pythagoras 41-1 van oktober 2001), dan kan eenvoudig een ander resultaat, of andere startwaarden worden gekozen. In dit artikel wil ik uitleggen wat er kwam kijken bij het schrijven van Flippo. Daarna geef ik enkele tips voor het oplossen van 24-spelopgaven. Ik eindig met een reeks opgaven van verschillende zwaarte. Meer opgaven staan op mijn homepage, waar ook Flippo te vinden is.

De vorm van de berekening

Hoe kom je er met de computer achter of vier getallen samen $24$ kunnen opleveren? Het idee is simpel: laat de computer alle mogelijke berekeningen van $+, -, \times$ of $\div$ met die vier getallen in alle mogelijke volgorden uitproberen. Welke mogelijke berekeningen zijn er allemaal? Ten eerste heb je te maken met de vorm van de berekening. Met een viertal $abcd$ kun je namelijk op verschillende manieren te werk gaan. Je kunt 'doorrekenen' zoals in versie 1. Je kunt ook eerst $a$ en $b$ nemen, dan $c$ en $d,$ en tenslotte de beide resultaten. De berekening heeft dan de vorm $(a \star b) \star (c \star d).$

In totaal zijn er vijf verschillende vormen mogelijk:

1. $((a \star b) \star c) \star d,$ bijvoorbeeld $((7 + 1) - 4) \times 6 = 24,$
2. $(a \star (b \star c)) \star d,$ bijvoorbeeld $(6 \div (8 - 6)) \times 8 = 24,$
3. $(a \star b) \star (c \star d),$ bijvoorbeeld $(5 + 7) \times (9 - 7) = 24,$
4. $a \star *(b \star c) \star d),$ bijvoorbeeld $(6 \star (7 + 1) - 4) = 24,$
5. $a \star (b \star (c \star d)),$ bijvoorbeeld $6 \div (1 - (3 \div 4) = 24.$

Kun je nagaan dat dit alle mogelijkheden zijn om haakjes te plaatsen?

Hoeveel formules zijn er?

In principe kan voor elke $\star$ elk van de vier bewerkingen worden ingevuld. Elke vorm levert dus $4 \times 4 \times 4 = 64$ formules op. Met de vijf vormen en de vier bewerkingen kunnen we dus in totaal $320$ formules maken. Maar veel formules worden dan dubbel geteld, want bij bepaalde bewerkingen geven verschillende vormen hetzelfde resultaat. Gebruik je bijvoorbeeld alleen maar de bewerking $+,$ dan doet de volgorde er helemaal niet toe: $((4 + 5) + 7) + 8 = (4 + (5 + 7)) + 8 = (4 + 5) + (7 + 8) = 4 + ((5 + 7) + 8) = 4 + (5 + (7 + 8)) = 24.$ Ook zijn er heel wat onzinnige formules bij. Wat te denken van $((a - 6) - c) - d$ of $((a \div b) \div c) \div d.$ Het zal wel duidelijk zijn dat met deze formules en als beginwaarde een van de getallen $1$ tot en met $9$ nooit als resultaat $24$ behaald kan worden.

Figuur 1

((

$a$

$+$

$b$

)

$+$

$c$

)

$+$

$d$

((

$a$

$+$

$b$

)

$\times$

$c$

)

$\times$

$d$

((

$a$

$\times$

$b$

)

$\times$

$c$

)

$\div$

$d$

((

$a$

$+$

$b$

)

$+$

$c$

)

$-$

$d$

((

$a$

$+$

$b$

)

$\times$

$c$

)

$\div$

$d$

((

$a$

$\times$

$b$

)

$\div$

$c$

)

$\div$

$d$

((

$a$

$+$

$b$

)

$+$

$c$

)

$\times$

$d$

((

$a$

$-$

$b$

)

$\times$

$c$

)

$\times$

$d$

(

$a$

$-$

(

$b$

$\times$

$c$

))

$\times$

$d$

((

$a$

$+$

$b$

)

$+$

$c$

)

$\div$

$d$

((

$a$

$-$

$b$

)

$\times$

$c$

)

$\div$

$d$

(

$a$

$-$

(

$b$

$\div$

$c$

))

$\times$

$d$

((

$a$

$+$

$b$

)

$-$

$c$

)

$\times$

$d$

((

$a$

$\times$

$b$

)

$+$

$c$

)

$\times$

$d$

(

$a$

$\div$

(

$b$

$+$

$c$

))

$\times$

$d$

((

$a$

$-$

$b$

)

$-$

$c$

)

$\times$

$d$

((

$a$

$\times$

$b$

)

$+$

$c$

)

$\div$

$d$

(

$a$

$\div$

(

$b$

$-$

$c$

))

$\times$

$d$

((

$a$

$+$

$b$

)

$\times$

$c$

)

$+$

$d$

((

$a$

$\times$

$b$

)

$-$

$c$

)

$\times$

$d$

(

$a$

$+$

$b$

)

$\times$

(

$c$

$+$

$d$

)

((

$a$

$+$

$b$

)

$\times$

$c$

)

$-$

$d$

((

$a$

$\times$

$b$

)

$-$

$c$

)

$\div$

$d$

(

$a$

$+$

$b$

)

$\times$

(

$c$

$-$

$d$

)

((

$a$

$-$

$b$

)

$\times$

$c$

)

$+$

$d$

((

$a$

$\div$

$b$

)

$+$

$c$

)

$\times$

$d$

(

$a$

$-$

$b$

)

$\times$

(

$c$

$-$

$d$

)

((

$a$

$-$

$b$

)

$\times$

$c$

)

$-$

$d$

((

$a$

$\div$

$b$

)

$-$

$c$

)

$\times$

$d$

(

$a$

$\times$

$b$

)

$+$

(

$c$

$\times$

$d$

)

((

$a$

$+$

$b$

)

$\div$

$c$

)

$+$

$d$

((

$a$

$\times$

$b$

)

$\times$

$c$

)

$+$

$d$

(

$a$

$\times$

$b$

)

$+$

(

$c$

$\div$

$d$

)

((

$a$

$\times$

$b$

)

$+$

$c$

)

$+$

$d$

((

$a$

$\times$

$b$

)

$\times$

$c$

)

$-$

$d$

(

$a$

$\times$

$b$

)

$-$

(

$c$

$\times$

$d$

)

((

$a$

$\times$

$b$

)

$+$

$c$

)

$-$

$d$

((

$a$

$\times$

$b$

)

$\div$

$c$

)

$+$

$d$

(

$a$

$\times$

$b$

)

$-$

(

$c$

$\div$

$d$

)

((

$a$

$\times$

$b$

)

$-$

$c$

)

$-$

$d$

((

$a$

$\times$

$b$

)

$\div$

$c$

)

$-$

$d$

$a$

$\div$

((

$b$

$\div$

$c$

)

$-$

$d$

)

((

$a$

$\div$

$b$

)

$+$

$c$

)

$+$

$d$

((

$a$

$\times$

$b$

)

$\times$

$c$

)

$\times$

$d$

$a$

$\div$

(

$b$

$-$

$c$

$\div$

$d$

))

De mogelijke formules om met vier getallen en drie operaties $24$ te maken

In figuur 1 staat een lijst van alle mogelijke formules. Van twee formules die altijd hetzelfde antwoord geven, zoals $(a + b) - (c + d) en ((a + b) - c) - d,$ heb ik er steeds maar een in de lijst opgenomen. Ook onzinnige formules zijn achterwege gelaten. Zo kom je op een lijst van $45$ formules. Op de website van Pythagoras staat een lijst van alle formules waarmee je $1$ kunt maken. Die lijst bestaat uit $93$ formules.

Hoe nu verder?

Als we voor een viertal $abcd$ willen testen of je $24$ kunt krijgen, dan zul je alle in figuur 1 staande formules moeten aflopen. Bovendien moet je alle mogelijke volgordes van abcd proberen. Voor $6666$ is dat eenvoudig, maar voor $1289$ zijn dat $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ volgordes. In dit laatste geval moeten er $24 \times 45 = 1080$ mogelijkheden worden nagegaan en steeds worden gekeken of het resultaat op $24$ uitkomt. De computer telt het aantal formules dat bij een zekere combinatie van de vier getallen tot het eindresultaat $24$ leidt. (Dus $((3 + 4) + 8) + 9$ en $((4 + 3) + 8) + 9$ tellen slechts eenmaal mee.) Op grond van het aantal gevonden formules wordt de volgende indeling gemaakt:

Aantal formules	Soort opgave
$9$ of meer $6, 7$ of $8$ $4$ of $5$ $2$ of $3$ $1$	zéér eenvoudig eenvoudig gaat wel lastig heel lastig

Nuttige tips

Om je op weg te helpen, volgen hier enkele tips bij het maken van een 24-spelopgave.

• Werk van achter naar voor

Het getal $24$ heeft een hele hoop delers: $2, 3, 4, 6$ en $8.$ Als één van de vier getallen, zeg $a,$ waarmee je $24$ moet maken een deler van $24$ is, probeer dan met de drie overige getallen $24 \div a$ te maken. Lukt dit niet, tel dan bij $24$ één van de vier getallen op en probeer vervolgens met de resterende drie getallen deze som te maken. (Of trek van $24$ één van de vier getallen af.)

• Neem twee getallen samen

Ga alle mogelijkheden van twee getallen langs. Tel deze getallen op, of neem het verschil. Is het een deler van $24?$ Probeer dan met de resterende twee getallen dat getal te maken dat vermenigvuldigd met het voorafgaande getal $24$ oplevert.

Opgave 1 Leef je uit op het 24-spel met de volgende viertallen: gaat wel lastig heel lastig 2339 3499 3666 1267 4667 2255 4555 1227 2447 4778 1168 1479 1799 1668 3388 Opgave 2 Probeer ook het 30-spel met de volgende viertallen: gaat wel lastig heel lastig 1237 2669 3349 1479 2689 2288 5789 1589 2267 5689 5599 6899 7789 4488 2477

Het 120-spel

Stel je nu eens voor dat je vijf getallen krijgt voorgeschoteld en de opdracht krijgt om met de bewerkingen $+, -, \times$ en $\div 120$ te realiseren. Allereerst moeten we weten hoeveel formule-types er zijn voor vijf getallen en vier operaties. Ga na dat dit er $14$ zijn.

De volgende stap is om de verschillende operatie-keuzes op te sommen. Er zijn circa $600$ verschillende formules! Vijf verschillende getallen kunnen op $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ manieren tussen de operaties worden geplaatst. Kortom, er zijn heel veel mogelijkheden.

Opgave 3 Kies vijf getallen van $1$ tot en met $9$ en probeer met behulp van de operaties $+, -, \times$ en $\div$ het resultaat $120$ te verkrijgen. Opgave 4 (Moeilijk!) Probeer met het vijftal $47778$ en de operaties $+, -, \times$ en $\div$ het resultaat $120$ te verkrijgen.