Junior Wiskunde Olympiade 2016, deel I, opgave 4
Een bakkershulpje vult anderhalf uur lang soesjes. Hij heeft geen haast en vult elke minuut twee soesjes. De bakker komt tussendoor een tijdje kijken hoe het hulpje aan het werk is en dan zet het hulpje er wat meer vaart achter: hij vult dan elke minuut drie soesjes. Als de bakker weer weg is, gaat hij weer terug naar het langzame tempo. Achteraf blijkt dat als je binnen deze anderhalf uur een willekeurige aaneengesloten periode van precies één uur bekijkt, het hulpje daarin precies 140 soesjes gevuld heeft. Hoeveel soesjes heeft het hulpje na anderhalf uur gevuld?

De opgave over het luie bakkershulpje lijkt in eerste instantie eenvoudig. Het hulpje vult normaal gesproken twee soesjes per minuut, dus dat zijn in een uur 120 soesjes. Maar als de bakker toezicht komt houden, gaat hij wat harder aan het werk, dus in feite vult hij nog wat meer soesjes per uur. Dat klopt precies met het gegeven dat hij in een uur tijd 140 soesjes vult. Gevraagd wordt naar anderhalf uur, dus het totaal aantal soesjes is $1,5 × 140 = 210$ soesjes. Toch?

We kunnen er ook anders tegenaan kijken. Omdat het bakkershulpje in een uur niet 120, maar 140 soesjes vult, zijn er 20 minuten waarin hij een soesje extra heeft gevuld. Dus de bakker is binnen dat uur 20 minuten komen kijken. Stel nu dat die 20 minuten precies in het midden van de anderhalf uur zitten, dus: het hulpje werkt 35 minuten alleen, dan 20 minuten onder toezicht en dan weer 35 minuten alleen. Dat klopt met het gegeven dat hij elke aaneengesloten periode van een uur precies 140 soesjes vult, want die 20 minuten in het midden vallen in elke periode van een uur. Hoeveel soesjes heeft hij nu in totaal gevuld? In de eerste 35 minuten 70, in de laatste 35 minuten ook, en in de 20 minuten in het midden 60. Dus samen 200 soesjes. Maar dat is een ander antwoord dan we net hadden...
 

Wanneer komt de bakker langs?

Ergens moet wel een fout in onze redenering zitten. De tweede redenering bevat een concreet voorbeeld dat aan alle eisen voldoet, dus dat móét wel goed zijn. Wat is er dan fout aan de eerste redenering? Laten we nog eens beter kijken naar de eis dat in elke aaneengesloten periode van een uur precies 140 soesjes gevuld worden. In het bijzonder vult hij in de eerste 60 minuten precies 140 soesjes. Maar ook in de tweede tot en met 61ste minuut vult hij precies 140 soesjes, dus in de eerste minuut vult hij evenveel soesjes als in de 61ste minuut. En net zo vult hij in de tweede minuut evenveel soesjes als in de 62ste minuut. Zo kunnen we door blijven gaan tot we aan het eind van de anderhalf uur zijn: in de dertigste minuut worden dus evenveel soesjes gevuld als in de negentigste minuut.
Stel nu dat de bakker binnen de eerste dertig minuten een tijdje komt kijken. Dan vult het hulpje meer soesjes, maar dat moet hij dan ook in de overeenkomstige minuten van de laatste dertig minuten doen. Dus blijkbaar komt de bakker in de laatste dertig minuten dan weer kijken. Maar de opgave zegt dat de bakker tussendoor maar één keer een tijdje langskomt. Als dat zowel in de eerste als in de laatste dertig minuten is, dan moet de bakker dus heel lang zijn blijven kijken, in elk geval het hele middelste halfuur. Maar als we dan een aaneengesloten periode van een uur bekijken, worden er minstens 150 soesjes gevuld, omdat dat middelste halfuur daar in elk geval bij zit. Dat is een tegenspraak met het gegeven. We concluderen dat de bakker niet langs kan komen in de eerste dertig minuten en dus ook niet in de laatste dertig minuten, maar alleen in het middelste halfuur. In die periode komt hij dus twintig minuten langs, waarmee het antwoord op 200 uitkomt. We zien ook wat er misgaat in de eerste redenering: omdat het gegeven alleen over perioden van een uur gaat, kun je eigenlijk niets zeggen over het aantal soesjes in een periode van een halfuur. Je mag er niet zomaar vanuit gaan dat 140 soesjes in elk uur betekent dat er 70 soesjes in elk halfuur gevuld worden.

Een paar variaties

Nu we de opgave zo goed doorgrond hebben – en echt zeker zijn van het goede antwoord: 200 soesjes – is het wel interessant om ook variaties te bekijken. Wat als de bakker meerdere keren langs mag komen (terwijl de rest van de opgave hetzelfde blijft)? Dan zou het zo kunnen zijn dat hij bijvoorbeeld minuut 1 t/m 10, minuut 31 t/m 40 en minuut 61 t/m 70 langskomt. In elke aaneengesloten periode van een uur zitten nu 20 minuten waarin de bakker meekijkt (ga maar na), dus vult het hulpje inderdaad 140 soesjes. In totaal vult hij drie keer 10 minuten lang 3 soesjes per minuut, dus dat zijn 3 × 10 × 3 = 90 soesjes; en in totaal drie keer 20 minuten lang 2 soesjes per minuut, dus dat zijn 3 × 20 × 2 = 120 soesjes. Samen dus 210.
Wat zouden het grootste en kleinste aantal soesjes zijn dat het hulpje kan vullen, als de bakker meerdere keren langs mag komen? We weten dat hij in het eerste uur 140 soesjes vult en in het laatste halfuur minstens 30 × 2 = 60 en hoogstens 30 × 3 = 90. Dus het zijn in totaal minstens 200 soesjes en hoogstens 230 soesjes. Van die 200 hebben we al gezien dat dat daadwerkelijk mogelijk is. Hoe zit dat met 230? Het eerste uur worden er 140 soesjes gevuld, dus in het laatste halfuur dan 90; de bakker moet dan wel het hele laatste halfuur langskomen. Maar in het laatste uur worden er dan minstens 60 + 90 = 150 soesjes gevuld en dat mag niet. Dus 230 is niet haalbaar.
We kunnen een betere afschatting maken: in het laatste uur moet de bakker in totaal 20 minuten toezicht houden, dus in het laatste halfuur kan hij hooguit 20 minuten komen kijken. In het laatste halfuur vult het hulpje dus hoogstens 10 × 2 + 20 × 3 = 80 soesjes. Alles bij elkaar vult het hulpje daarom hoogstens 140 + 80 = 220 soesjes. Kunnen we dat wél bereiken? Dan moet de bakker dus 20 minuten van het laatste halfuur langskomen, zeg in minuut 71 t/m 90. We hebben al eerder gezien dat hij dan ook in minuut 11 t/m 30 langs moet komen. Met deze twee toezichtsperioden bij elkaar voldoen we aan de voorwaarden dat in elk uur 140 soesjes gevuld moeten worden (ofwel: in elk uur moet de bakker in totaal 20 minuten toezicht houden). Het totaal aantal soesjes is nu 2 × 20 × 3 + 50 × 2 = 120 + 100 = 220. We concluderen dat het totaal aantal soesjes minstens 200 en hoogstens 220 is.
Nog een andere variatie: we nemen nu weer aan dat de bakker maar één keer komt kijken, maar we zwakken de voorwaarde over 140 soesjes per uur af: we nemen dat nu alleen voor het eerste en laatste uur aan en niet meer voor elke periode van een uur. De opgave lijkt nu moeilijker geworden, want je hebt minder informatie. Maar eigenlijk is hij makkelijker geworden! De foute (eerste) redenering ligt nu namelijk minder voor de hand.
Maar ligt het totaal aantal soesjes nu wel vast of zijn er meerdere mogelijkheden? In het eerste uur moet de bakker weer 20 minuten toezicht komen houden. Als die 20 minuten niet volledig in het middelste halfuur vallen, maar deels ook in het eerste halfuur, dan is er dus geen toezicht in het laatste halfuur. Maar dan bevat het laatste uur (bestaande uit het middelste halfuur en het laatste halfuur) minder dan 20 minuten toezicht, dus worden er geen 140 soesjes gevuld. Dit kan dus niet. Net zo is het onmogelijk dat een deel van de toezichttijd in het laatste halfuur valt. Dus de bakker kan alleen in het middelste halfuur komen kijken en doet dat 20 minuten lang. Zo komen we weer op 200 soesjes in totaal uit.

 

Doe mee!

Achter deze op het eerste gezicht eenvoudige opgave blijken allerlei verrassingen en interessante redeneringen te zitten! Wil jij ook je hersenen kraken op dit soort puzzels met onverwachte wendingen? Doe dan in januari mee aan de eerste ronde van de Nederlandse Wiskunde Olympiade. Elke havo/vwo-scholier kan hieraan meedoen. Vraag je wiskundedocent op school ernaar. En ben je benieuwd naar de flesjes vergif en het dobbelspel? Kijk dan eens op http://www.wiskundeolympiade.nl in het wedstrijdarchief; daar zijn de opgaven van de Junior Wiskunde Olympiade en van heel veel andere rondes terug te vinden.