Een leuk iteratief proces dat getallen transformeert is wat ik noem het kwadratenalgoritme. Vorm, uitgaande van een willekeurig getal, een nieuw getal door de kwadraten van de cijfers op te tellen en herhaal deze rekenregel telkens weer. Een voorbeeld: $28$ geeft $22 + 82 = 4 + 64 = 68$. Op zijn beurt geeft $68$:$ 62 + 82 = 36 + 64 = 100$. Dan volgt: $12 + 02 + 02 = 1$ en het algoritme eindigt, want $12$ is weer $1$. Hetzelfde gebeurt ook met $19$: de rij is dan $19-82-68-100-1$. Of met: $7-49-97-130-10-1$. Precies $20$ van de $100$ getallen $1$ tot en met $100$ eindigen zo in $1$. Maar wat gebeurt er in de andere $80$ gevallen? In deze categorie gebeurt ook iets bijzonders.

Opgave 1 Wat gebeurt er in die tweede categorie getallen?

De twee categorieën treden ook op bij getallen boven de $100$. We bekijken nu een variant van het kwadratenalgoritme, gebaseerd op de volgende gedachte. Wat is er bijzonder aan de getallen $153$, $407$, $1\,634$, $8\,208$, $54\,748$? Ze bezitten de eigenschap dat de som van de machten van de afzonderlijke cijfers het getal zelf weer oplevert. Met dien verstande, dat de 'lengte' van het getal die macht bepaalt. Er geldt namelijk $153 = 1^3 + 5^3 + 3^3$; $1\,634 = 1^4 + 6^4 + 3^4 + 4^4$; $54\,748 = 5^5 + 4^5 + 7^5 + 4^5 + 8^5$, et cetera. We noemen deze soort getallen vanggetallen. Merk op dat er geen vanggetallen met twee cijfers bestaan met deze eigenschap.

Opgave 2 Bewijs dat er geen vanggetallen met twee cijfers zijn.

De variant van het kwadratenalgoritme gaat als volgt.

Start met een getal tussen $10$ en $99$ en gebruik hetzelfde algoritme als eerder beschreven, maar nu met een extra regel: verhef ontstane getallen die uit één cijfer bestaan tot de macht één, getallen die uit twee cijfers bestaan gaan over in de som van de kwadraten van die cijfers, driecijferige getallen worden getransformeerd in de som der derde machten van die cijfers, enzovoorts. We noemen deze variant het 'machtenalgoritme'. Bijvoorbeeld:

	$\color\white{98}$
	$145$	$(9^2+8^2)$
	$\color\white{190}$	$\color\white{(1^3+4^3+5^3)}$
	$730$	$(1^3+9^3+0^3)$
	$\color\white{370}$

Er ontstaan dan vier categorieën getallen.

Opgave 3 Wat zijn die vier categorieën bij het machtenalgoritme en wat er gebeurt er daar?

Bij enkele getallen groter dan $100$ gebeuren er rare dingen bij deze variant op het machtenalgoritme. Bij $789$ valt dat nog mee. De opeenvolgende getallen groeien sterk, maar nemen dan weer af, eindigend in een vanggetal:

	$\color\white{789}$
	$1\,584$	$(7^3+8^3+9^3)$
	$\color\white{4\,978}$	$\color\white{(1^4+5^4+8^4+4^4)}$
	$13\,314$	$(4^4+9^4+7^4+8^4)$
	$\color\white{1\,512}$	$\color\white{(1^5+3^5+3^5+1^5+4^5)}$
	$643$	$(1^4+5^4+1^4+2^4)$
	$\color\white{307}$	$\color\white{\dots}$
	$370$

Maar bijvoorbeeld $369$ vertoont enorm chaotisch gedrag: na 12 stappen zitten we al boven de $500\,000$, om dan weer terug te keren naar $2\,258$ (stap 18) en weer te verdwijnen naar boven de $800$ miljoen. Vele startgetallen eindigen in een cyclus, soms zelfs in een cyclus ter lengte twee: $58\,618 - 76\,438$. Sommige startwaarden eindigen in een vanggetal.

Opgave 4 Het enige 6-cijferige vanggetal heeft de cijfers $3$, $4$, $4$, $5$, $8$, $8$. Welk getal is dat? Opgave 5 Er zijn drie vanggetallen van 8 cijfers. Twee daarvan zijn $24\,678\,050$ en $88\,593\,477$. Wat is het derde?

 

 

		Hieronder bij [Documenten] vind je een Python-programma waarmee je kunt uitzoeken hoe lang de lussen zijn, of de rijtjes naar oneindig kunnen gaan en veel meer. Mail naar [email protected] met je bijzondere resultaten.