Zoals bekend is een priemgetal een natuurlijk getal groter dan $1$ dat geen andere delers heeft dan $1$ en zichzelf. De natuurlijke getallen groter dan $1$ vallen uiteen in twee soorten: de samengestelde getallen, die te schrijven zijn als product van getallen groter dan $1$, en de priemgetallen. De delers behoren op hun beurt ook weer tot één van beide soorten. Zo doorgaand is een samengesteld getal uiteindelijk altijd te ontbinden in priemfactoren. Er zijn oneindig veel priemgetallen (zie het kader voor een bewijs): $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \dots$. Over sommen van priemgetallen valt ook iets te zeggen. Uitgezonderd het getal $2$ zijn priemgetallen oneven, want even getallen groter dan $2$ hebben het getal $2$ als echte deler. De som van twee priemgetallen groter dan $2$ is dus altijd even. En verder is ook $2 + 2 = 4$ even. Omgekeerd is er het vermoeden van Goldbach.

Vermoeden van Goldbach 'Elk even getal groter dan 2 kan worden geschreven als de som van twee priemgetallen.' (Dit kan vaak op meerdere manieren.)

Het is een vermoeden: het is voor heel veel even getallen aangetoond, er is nog geen tegenvoorbeeld gevonden, maar ook nog geen bewijs dat het voor alle even getallen geldt. 

De figuur hiernaast toont een constructie (naar een artikel van Francis Maleval) die het vermoeden van Goldbach verbeeldt. Als er drie gelijke getallenlijnen worden getrokken evenwijdig aan elkaar, zo dat de middelste lijn op gelijke afstand ligt van elk van de twee andere, dan kan de middelste getallenlijn worden gebruikt om het gemiddelde te bepalen van twee getallen, één op de linker en één op de rechter getallenlijn: trek het lijnstuk tussen de getallen links en rechts, en kijk waar dat de middelste getallenlijn snijdt. Als vervolgens op de getallenlijn in het midden alle getallen worden vervangen door het dubbele, dan geven die niet het gemiddelde maar de som aan van de getallen links en rechts. In de figuur wordt met deze constructie de som van elk tweetal oneven priemgetallen uitgezet, alsmede $2 + 2 = 4$. Volgens het vermoeden van Goldbach worden zo alle even getallen vanaf $4$ bereikt. Dit is echter eerder een aardige weergave dan een bruikbare constructie, omdat van zeer grote oneven getallen niet zomaar bekend is of ze wel of niet priem zijn, en je de lijnen met priemgetallen dus niet zomaar kunt neerzetten. Maar als we onszelf een dichterlijke blik veroorloven, dan zien we in de figuur een zeef voortgebracht door de priemgetallen die – als het vermoeden waar is – de even getallen (behalve 2) tegenhoudt en de oneven getallen doorlaat. Uit de onregelmatig verdeelde priemgetallen volgt een keurige opdeling in even en oneven!

Er zijn oneindig veel priemgetallen. Al rond 300 v.Chr. stond er een bewijs op schrift (Euclides, 'Elementen'). Hier vermelden we een recent geformuleerd  bewijs (Filip Saidak, 2006): Neem een natuurlijk getal $n > 1$. Dan hebben $n$ en $n + 1$ geen gemeenschappelijke delers groter dan $1$, omdat twee getallen met een gemene deler die deler of een veelvoud ervan als verschil hebben. Daaruit volgt dat het getal $N_2 = n(n + 1)$ minstens twee verschillende priemfactoren heeft. Evenzo hebben $N_2$ en $N_2 + 1$ geen gemene deler. Dus heeft $N_3 = N_2(N_2 + 1) = n(n + 1)(n(n + 1) + 1)$ minstens drie verschillende priemfactoren. Deze procedure kan willekeurig vaak worden herhaald, waaruit volgt dat er oneindig veel priemgetallen bestaan.

Brief van Goldbach naar Euler, uit 1742; in de marge staat het vermoeden dat elk geheel getal groter dan $2$ geschreven kan worden als de som van $3$ priemgetallen. Dat is equivalent met wat bovenaan in het kader staat.