Stel je krijgt morgen € 100 miljoen om te beleggen. Waar begin je? Hoeveel aandelen koop je? Hoeveel geld stop je in elk aandeel? Hoe weet je welk aandeel het beste is? Om deze vragen te beantwoorden, proberen beleggers patronen in financiële markten te ontdekken.

Al eeuwen proberen mensen geld te verdienen op de financiële markten. Je zou misschien verwachten dat economen daarin het meest succesvol zijn. Opvallend genoeg zijn veel succesvolle beleggers juist wiskundigen en natuurkundigen.

Een van hen was Jim Simons, voormalig hoogleraar wiskunde en oprichter van het hedgefonds Renaissance Technologies. Zijn fonds, Medallion, behaalde over tientallen jaren een uitzonderlijk hoog jaarlijks rendement. Renaissance Technologies heeft zijn wiskundige handelsmodellen nooit openbaar gemaakt en staat bekend als een van de meest geheime fondsen ter wereld.

Toch is in een aantal interviews met Simons en het boek "The man who solved the market" van Gregory Zuckerman naar voren gekomen welke wiskundige ideeën binnen zijn hedgefonds werden gebruikt. In dit artikel duiken we in de financiële wiskunde en behandelen we technieken die door wiskundigen en natuurkundigen worden gebruikt om geld op de markt te verdienen.

StoChastische proCessen

Een belegger heeft in feite twee doelen om na te streven: (1) het totale rendement zo hoog mogelijk houden en (2) het risico (variantie) zo laag mogelijk houden. Maar hoe bereik je die twee doelen?

Wanneer we een koersbeweging bekijken, lijkt de prijs van een aandeel voortdurend willekeurig op en neer te bewegen. Nieuws, economische cijfers en geopolitieke gebeurtenissen beïnvloeden die beweging voortdurend.

Omdat nieuwe informatie voortdurend binnenkomt, beschrijven wiskundigen een koers als een stochastisch proces. Een stochastische beweging is een beweging waarvan de exacte toekomst niet voorspelbaar is, maar waarvan de statistische eigenschappen wel onderzocht kunnen worden.

Wiskundigen beschrijven de prijs van een aandeel op tijdstip $t$ als $X_t$. Zo is $X_0$ de prijs op een gekozen beginmoment. Stel dat we vandaag beginnen met onze analyse en een aandeel ASML $€\ 1\, 480{,}00$ waard is. Dan schrijven we $X_0 = €\ 1\,480{,}00$. Afhankelijk van de toepassing kan één tijdseenheid een seconde, een uur, een dag, of een jaar voorstellen.

Variantie en standaardafwijking

Je bent van plan om jouw gekregen € 100 miljoen te investeren. Je bekijkt de twee aandelen $A$ en $B$ die allebei een rekenkundig gemiddeld rendement van $10\%$ per jaar opleveren. Welk aandeel zou jij kiezen? Denk aan de twee hoofddoelen van een belegger.

$\color{white}{Jaar}$	$\color{white}{Aandeel\ A}$	$\color{white}{Aandeel\ B}$
$\color{white}{1}$	$\color{white}{9\%}$	$\color{white}{-40\%}$
$\color{white}{2}$	$\color{white}{10\%}$	$\color{white}{40\%}$
$\color{white}{3}$	$\color{white}{11\%}$	$\color{white}{30\%}$

Beide aandelen hebben hetzelfde rekenkundig gemiddeld rendement ($10\%$). Waarschijnlijk slaap je bij aandeel $A$ een stuk rustiger. Bij aandeel $B$ is de kans op grote verliezen namelijk groter. Aandeel $B$ is dan ook risicovoller. Dat komt omdat de rendementen van aandeel $B$ veel sterker schommelen.

Deze schommelingen noemen beleggers de volatiliteit. Die schommelingen meten we met de variantie. De variantie meet hoe ver de rendementen $r_i$ met $1 \le i \le n$ van hun gemiddelde $\overline{r}$ liggen. De variantie wordt op de volgende manier berekend:

$$\sigma^2=\frac{\Sigma(r_i-\overline{r})^2}{n}.$$

$\color{red}{(1)}$

Daar zijn twee redenen voor. Positieve en negatieve afwijkingen zouden elkaar anders opheffen, waardoor de gemiddelde afwijking nul kan worden. Bovendien krijgen grote uitschieters extra gewicht, en de bijdrage van kleine afwijkingen wordt kleiner.

Sommige beleggers zien het als nadeel dat het verschil wordt gekwadrateerd. Daarom gebruiken ze meestal de standaardafwijking:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma(r_i-\overline{r})^2}{n}}/$$

$\color{red}{(2)}$

De standaardafwijking is makkelijker te interpreteren dan de variantie, omdat deze dezelfde eenheid heeft als het rendement. Het geeft aan hoe sterk de rendementen doorgaans rond hun gemiddelde schommelen. Een aandeel met een standaardafwijking van $3\%$ beweegt veel rustiger dan een aandeel met een standaardafwijking van $20\%$. In de financiële wereld wordt de standaardafwijking vaak gebruikt als maat voor risico. Vaak geldt dan ook: hoe groter de standaardafwijking, hoe onvoorspelbaarder de koersontwikkeling.

Als je formule $\color{red}{(1)}$ en/of $\color{red}{(2)}$ toepast zie je dat aandeel $B$ risicovoller is dan aandeel $A$. Je krijgt namelijk (over een periode van drie jaar):

$\color{white}{Rendement}$ $\color{white}{(in\ \$)}$	$\color{white}{Aandeel\ A}$	$\color{white}{Aandeel\ B}$
$\color{white}{\overline{r}}$	$\color{white}{10}$	$\color{white}{10}$
$\color{white}{\sigma^2}$	$\color{white}{0{,}667}$	$\color{white}{1266{,}67}$
$\color{white}{\sigma}$	$\color{white}{0{,}816}$	$\color{white}{35{,}59}$

Nu kun je het risico tussen aandelen $A$ en $B$ vergelijken.

Risk parity en portefeuillegewiChten

Als je als belegger nu $€\ 100$ miljoen wilt verdelen over de aandelen $A$ en $B$, kun je dat op verschillende manieren doen.

Logischerwijs investeer je meer in het veiligere aandeel. Aandeel $A$ is dan de meest gewenste optie om meer geld in te investeren. Deze manier van geld verdelen, waarbij je meer kapitaal investeert in veilige aandelen en minder in risicovolle aandelen, noemt men risk parity. Oftewel, zoals we hebben geleerd: minder geld naar aandelen met een grote standaardafwijking en meer geld naar aandelen met een kleine standaardafwijking.

$RC_i$ is de risk contribution van aandeel $i$. Elk aandeel in de portefeuille draagt dan evenveel risico bij. Er geldt dan:

$$RC_1=RC_2=\cdots=RC_n.$$

$\color{red}{(3)}$

Een manier om dit risico gelijk te stellen is dus door bepaalde aandelen minder gewicht te geven dan andere. We weten dat alle gewichten $w_i$ bij elkaar uitkomen op $1$, oftewel:

$$\sum_{i=1}^n w_i=1.$$

$\color{red}{(4)}$

Het wiskundig bepalen van het gewicht van een aandeel kan op verschillende manieren. Een eenvoudige manier om de gewichten te bepalen is:

$$w_i=\frac{1/\sigma_i}{\sum_{i=1}^n 1/\sigma_i}.$$

$\color{red}{(5)}$

We kunnen deze formule toepassen op onze aandelen $A$ en $B$ uit het vorige voorbeeld. We hebben berekend wat de standaardafwijkingen
van $A$ en $B$ zijn:

$\sigma_A=0{,}816$
$\sigma_B=35{,}59$

Nu passen we formule $\color{red}{(5)}$ toe om de gewichten van aandelen A en B te vinden:

$w_A=\frac{1/0{,}816}{1/0{,}816+1/35{,}59}\approx 0{,}9776$
$w_B=\frac{1/35{,}59}{1/0{,}816+1/35{,}59}\approx 0{,}0224$.

Bingo! We weten nu hoe we onze $€\ 100$ miljoen kunnen verdelen op basis van risk parity. Het extreme verschil tussen gewicht $w_A$ en $w_B$ is bovendien logisch: aandeel $A$ is veel veiliger dan aandeel $B$. Door elk gewicht te vermenigvuldigen met de bijbehorende standaardafwijking krijgen we:

$w_A\cdot\sigma_A\approx0{,}80$
$w_B\cdot\sigma_B\approx0{,}80$.

Hieruit kun je concluderen dat de risicobijdrage van elk aandeel gelijk is ($RC_A = RC_B$) en dus inderdaad sprake is van risk parity. Voor de eenvoud houden we hierbij geen rekening met de samenhang tussen de aandelen.

Het totale rendement $r_p$ van een portefeuille kan na verdeling worden berekend aan de hand van de gewogen som van de rendementen, oftewel:

$$r_p=\sum_{i=1}^nw_ir_i.$$

$\color{red}{(6)}$

Elk aandeel telt mee naar zijn gewicht in de portefeuille. De gewichten zorgen dat het risico evenwichtiger over de portefeuille wordt verdeeld.

Het totale risiCo $\sigma_p$ en Covariantiematrix

De gewichten samen kunnen wiskundig worden weergegeven in één vector:

$$\mathbf{w}=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\\vdots\\w_n\end{pmatrix}.$$

$\color{red}{(7)}$

Een portefeuille beweegt op basis van alle aandelen en hun gewichten. Met de vector $\mathbf{w}$ (met $\Sigma w_i = 1$) kunnen we het totale risico van de portefeuille berekenen.

Het totale risico hangt niet alleen af van de volatiliteit van elk individueel aandeel maar ook van de samenhang tussen aandelen. Deze samenhang kunnen we meten met de covariantie. De covariantie van rendementen $R_i$ en $R_j$ van aandelen $i$ en $j$ kan worden berekend met:

$${\rm Cov}(R_i,R_j)=\tfrac{1}{n}\sum_{t=1}^n(r_{i,t}-\overline{r})(r_{j,t}-\overline{r}).$$

$\color{red}{(8)}$

Deze ${\rm Cov}(R_i,R_j)$ kan verschillende waarden aannemen. Normaal gesproken geldt:

${\rm Cov}(R_i,R_j) > 0 \rightarrow$ vaak dezelfde richting
${\rm Cov}(R_i,R_j) = 0 \rightarrow$ geen lineaire samenhang
${\rm Cov}(R_i,R_j) < 0 \rightarrow$ vaak tegengesteld

Aan de hand van de covarianties en varianties van verschillende aandelen kunnen we de totale volatiliteit (oftewel het risico) van de portefeuille berekenen aan de hand van lineaire algebra:

$$\sigma_p=\sqrt{\mathbf{w}^T\Sigma\mathbf{w}}$$

$\color{red}{(9)}$

Hierbij is $\mathbf{w}^T$ de getransponeerde gewichtsvector ($\mathbf{w}$ als kolomvector gedraaid naar rijvector), genoteerd als:

$$\mathbf{w}^T=\begin{pmatrix}w_1&w_2&\cdots&w_n\end{pmatrix}.$$

$\color{red}{(10)}$

$\Sigma$ staat voor de covariantiematrix. De covariantiematrix verzamelt alle varianties en covarianties van alle aandelen.

$$\Sigma=\begin{pmatrix}\sigma^2_1 & {\rm Cov}(r_1,r_2) & \cdots & {\rm Cov}(r_1,r_n)\\ {\rm Cov}(r_2,r_1) & \sigma^2_2 & \cdots & {\rm Cov}(r_2,r_n)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ {\rm Cov}(r_n,r_1) & {\rm Cov}(r_n,r_2) & \cdots & \sigma^2_n\end{pmatrix}$$

$\color{red}{(11)}$

De covariantiematrix $\Sigma$ is symmetrisch. Dat wil zeggen dat de getransponeerde matrix $\Sigma^T$ gelijk is aan de covariantiematrix $\Sigma$. Door vergelijking $\color{red}{(9)}$ toe te passen, krijgt men de totale volatiliteit $\sigma_p$ van de portefeuille. Zo kan een belegger het totale risico van een portefeuille berekenen.

Tot nu toe lijkt alles mooi opgelost: we kunnen het risico meten, aandelen vergelijken en zelfs een portefeuille samenstellen. Toch ligt de optimalisatie van een portefeuilleverdeling vaak ingewikkelder. Zo is de volatiliteit van een aandeel bijvoorbeeld niet constant en is het ook handig om te weten of een aandeel waarschijnlijk gaat stijgen of dalen.

In dit artikel bespreken we nog twee wiskundige technieken waarmee beleggers hun portefeuille verder kunnen verbeteren.

TECHNIEK 1: Het risico in de toekomst voorspellen, het GARCH-(1,1)-model

We hebben net geleerd dat de volatiliteit niet constant is maar ook kan veranderen door de tijd heen. Wiskundigen hebben modellen gemaakt om de variantie in de toekomst te voorspellen.

Een van de bekendste modellen hiervoor is het Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, of beter bekend als GARCH. Ondanks de naam is het idee verrassend eenvoudig.

De verwachte variantie van vandaag ($t$) hangt af van een vast basisniveau voor de variantie $(i)$, de grootte van de meest recente onverwachte koersbeweging $(ii)$ en de variantie van gisteren, $t-1$ ($iii$). Het GARCH (1,1)-model kan worden geschreven als:

$$\sigma^2_t=\omega+\alpha\varepsilon_{t-1}^2+\beta\sigma_{t-1}^2.$$

$\color{red}{(12)}$

Hierbij is $\omega$ ($>0$) het basisniveau, $\varepsilon_{t-1}^2$ de onverwachte koersbeweging van $t-1$ (vereenvoudigd geldt dat: $\varepsilon_{t-1}^2=\left(r_{t-1}-\overline{r}\right)^2$) en $\sigma_{t-1}^2$ de variantie van $t-1$. Hierbij bepalen de waarden van $\alpha$ en $\beta$ hoe zwaar de $\varepsilon_{t-1}^2$ en $\sigma_{t-1}^2$ worden meegenomen in de berekening van $\sigma_t^2$.

Opgave 2 Stel dat voor een aandeel geldt: $\omega = 0{,}0001$, $\alpha = 0{,}10$, $\beta = 0{,}80$. De onverwachte koersbeweging van gisteren was $5\%$ en de standaardafwijking van gisteren was $2\%$. Bereken met het GARCH-(1,1)-model de standaardafwijking van vandaag. (Antwoord: $\sigma_t\approx 2{,}59\%$)

 

$$\sigma^2=\frac{\Sigma(r_i-\overline{r})^2}{n}.$$

$\color{red}{(13)}$

 

$$\sigma^2=\frac{\Sigma(r_i-\overline{r})^2}{n}.$$

$\color{red}{(14)}$

 

Opgave 1 Waarom wordt het verschil gekwadrateerd?

 

Opgave 1 de opgave

 

Opgave 1 de opgave