Een kwadratische vergelijking zoals wij die kennen heeft meestal de vorm $x^2 + 2x - 8 = 0$ of iets dat daarop lijkt: een onbekende die als letter voorgesteld wordt en een relatie tussen het kwadraat van de onbekende, een aantal keer de onbekende zelf en een getal. We zouden zo'n vergelijking ook gewoon in woorden kunnen uitdrukken: "Ik zoek een getal waarvan het kwadraat opgeteld bij twee keer het getal zelf precies acht oplevert." Dat is langer, maar dat is wel hoe vergelijkingen vroeger werden opgeschreven vóór onze algebraïsche notatie ontstond: in woorden. Formules zijn efficiënter, ook handiger als je het over meer dan één onbekende wil hebben (dan kies je gewoon nog een andere letter), en het is door gebruik van parameters (weer andere letters) ook mogelijk om een vergelijking in algemene vorm uit te drukken, zoals de $ax^2 + bx + c = 0$ die we gebruiken om de abc-formule te kunnen opschrijven.

Wij lossen kwadratische vergelijkingen op verschillende manieren op: als de vergelijking van de vorm $x^2=16$ is, trekken we gewoon de wortel: $x=4$ of $x = -4.$ Als er wel een term met de $x$ voorkomt, kun je proberen of ontbinden in factoren lukt. Als dat niet lukt gebruik je de abc-formule, die werkt altijd. Misschien heb je ook geleerd hoe kwadraat afsplitsen werkt, ook dat werkt altijd. Merk op dat dit allemaal algebraïsche aanpakken zijn: je bent alleen met formules bezig en niet met wat de vergelijking zou kunnen betekenen.

ArabisChe wiskunde

We gaan in dit artikel niet helemaal in de juiste tijdsvolgorde te werk, we beginnen bij de Arabische wiskundigen rond het jaar 800. In die tijd bestond er in het Midden-Oosten een hoogstaande wetenschappelijke cultuur die voortbouwde op de kennis uit de Griekse oudheid. Een van de beroemdste wiskundigen uit die tijd is Al-Khwarizmi (volledig: Muhammed ibn Musa Al-Khwarizmi), hij kwam uit Perzië, leefde tussen ongeveer 780 en 850, studeerde en werkte in Bagdad en schreef in het Arabisch. Zijn werk was niet bijzonder origineel, maar zijn boeken werden wel beroemd. Ons woord "algebra" is ontstaan vanuit de titel van een van zijn boeken waarin het woord "al-dzjabr" voorkomt, dat "restauratie" betekent. Ons woord algoritme komt overigens ook van Al-Khwarizmi, zijn naam werd in Latijnse vertalingen verbasterd tot "algorismi". Dan stond er bij een rekenrecept "algorismi dixit", ofwel "Al-Khwarizmi heeft gezegd", waardoor uiteindelijk zo'n rekenrecept een algoritme ging heten.

In zijn boek bekijkt hij bijvoorbeeld de vergelijking $x^2+10x=39.$

Opgave 1

Los die vergelijking eerst zelf op op je eigen manier.

Al-Khwarizmi beschreef die vergelijking in woorden: "Een kwadraat en tien keer zijn wortel vormen samen negenendertig eenheden. Dit wil zeggen: wat moet het kwadraat zijn dat, aangevuld met tien van zijn wortels, negenendertig oplevert?"

Hij lost hem op volgens een standaardrecept:

"De oplossing is: Neem de helft van (in dit geval) tien, en vermenigvuldig dit met zichzelf, dus je krijgt: vijf keer vijf is vijfentwintig. Dit product wordt bij negenendertig opgeteld, de som is vierenzestig. Neem hiervan de wortel, dit is acht. Trek van acht de helft van (in dit geval) tien af. De rest is drie. Dit is de wortel van het getal dat je aan het zoeken bent. Het kwadraat zelf is negen."

Opgave 2

Komt deze oplossing overeen met je eigen oplossing(en)?

Opgave 3

Probeer het recept van Al-Khwarizmi ook eens uit op de vergelijking $x^2+4x=60.$ Klopt het dan ook?

Al-Khwarizmi legt in zijn boek ook uit waarom dat recept klopt, en dat doet hij aan de hand van meetkunde.

Opgave 4

Kun je zelf bedenken hoe je zo'n vergelijking als een meetkundig probleem kunt voorstellen? (Hint: neem een lijnstuk met lengte $x,$ vraag je af hoe je dan $x^2$ en $10x$ meetkundig kunt voorstellen.)

Als je een lijnstuk met lengte $x$ hebt, kun je $x^2$ voorstellen als een vierkant met zijde $x.$ De $10x$ kun je voorstellen als een rechthoek met zijden $10$ en $x.$ Als je die aan elkaar plakt, heb je een rechthoek die in totaal als oppervlakte blijkbaar $39$ moet hebben. (Merk op dat Al-Khwarizmi die lengte niet $x$ noemt, maar het plaatje, figuur 1a, is verder hetzelfde.)

Figuur 1

In het recept staat dat je de helft van de $10$ moet nemen en die met zichzelf moet vermenigvuldigen. In zijn meetkundige uitleg wordt duidelijk waarom: Al-Khwarizmi knipt de rechthoek van $10$ bij $x$ in tweeën en plakt één helft aan de onderzijde van het vierkant (zie figuur 1b).

Opgave 5

1. Hoe groot is deze nieuwe figuur?

2. Je kunt van deze nieuwe figuur een groter vierkant maken door de hoek rechtsonder op te vullen, hoe groot is die hoek en hoe groot wordt het grote vierkant?

3. Hoe groot is de zijde van het grote vierkant en hoe groot is $x$ dus?

Al-Khwarizmi geeft ook nog een ander plaatje om diezelfde vergelijking op te lossen. Daarin verdeelt hij de rechthoek van $10$ bij $x$ niet in twee gelijke delen, maar in vier gelijke stukken, die hij vervolgens ook aan het onbekende vierkant plakt. Zie figuur 2.

Opgave 6

Ook nu kun je een groot vierkant maken door de vier hoekjes op te vullen. Hoe groot zijn die hoekjes? Dus hoe groot is de oppervlakte van het grote vierkant dan? Los hiermee de vergelijking verder op.

Al-Khwarizmi's methode werkt niet voor alle kwadratische vergelijkingen, de vergelijking $x^2+21 = 10x$ bijvoorbeeld moet je op een andere manier meetkundig voorstellen en die moet je ook anders oplossen. Al-Khwarizmi had zo voor elke vorm een meetkundig recept.

Kwadraat afplitsen

Misschien heb je op school al geleerd hoe kwadraat afsplitsen werkt, misschien ook niet. Als je dat nog niet weet, lees dan eerst het kader “Hoe werkt kwadraat afsplitsen?”

Opgave 7

Los de vergelijking x² + 10x = 39 op met behulp van kwadraat afsplitsen. Vergelijk je stappen met de eerste meetkundige oplossing van Al-Khwarizmi hierboven.

Hoe werkt kwadraat afsplitsen? Je kunt kwadratische vergelijkingen van de vorm $x^2=c$ eenvoudig oplossen door de wortel van dat getal te trekken: $x = \sqrt{c}$ of $x = -\sqrt{c}$. Het zou dus handig zijn als je een kwadratische vergelijking kunt schrijven als een onbekend getal in het kwadraat aan de ene kant van het $=$-teken en een getal aan de andere kant. Laten we dat eens proberen bij de vergelijking $x^2+10x=39.$ Het vervelende is hier de term $10x.$ Maar misschien lukt het ons wel om deze vergelijking om te schrijven naar de vorm $(x \pm \dots)^2 = \dots,$ waarbij op de puntjes alleen getallen staan. Dat zou al helpen, want een vergelijking van die vorm is eenvoudig op te lossen, probeer maar. Opgave 8 Los de volgende vergelijkingen op (zonder eerst haakjes uit te werken!): $(x + 2)^2 = 25$ en $(x - 4)^2 = 100.$ Kortom: het helpt als we onze vergelijking kunnen omschrijven naar die vorm. Opgave 9 Probeer eens om $x^2+10x$ te schrijven als $(x + \dots)^2,$ waarbij op de puntjes een getal staat. Je zult zien dat dat niet helemaal lukt, waarom niet? Maar we kunnen wel zorgen dat de termen met $x^2$ en $10x$ kloppen. Welk getal moet dan op de puntjes staan? Je ziet dat $(x + 5)^2$ niet helemaal hetzelfde is als $x^2 + 10x,$ maar het verschil is alleen maar een getal, niet meer een term met $x'{\rm en}$ erin. Dat is geen groot probleem, want dat kunnen we compenseren aan de andere kant van het =-teken. We weten dat $x^2+10x=39.$ Wat weten we dan over $(x + 5)^2?$ Nou, $(x+5)^2=x^2+10x+25,$ dus dat is $25$ méér dan $x^2+10x,$  dus $25$ méér dan $39.$ Dus we vinden dat $(x + 5)^2 = 64.$ En nu kunnen we de vergelijking zonder problemen verder oplossen. Deze methode heet "kwadraat afsplitsen". Opgave 10 Welk getal moet er op de puntjes bij $x^2+4x=77?$ En bij $x^2-12x=45?$ Kun je een algemene regel formuleren? Waarom klopt die? Los deze vergelijkingen verder op met kwadraat afsplitsen. Maak nu opgave 7, die je net had overgeslagen.

Je ziet dus dat Al-Khwarizmi's methode precies de meetkundige versie van het algebraïsche kwadraat afsplitsen is! Kun je je nu ook voorstellen waarom het in het Engels completing the square heet?

Babylonië

In Mesopotamië, het gebied waar nu ongeveer Irak en Syrië liggen, ontstond rond 3000 v. Chr. een complexe beschaving waarin een schrift ontwikkeld werd. Ook werd daar een getalsysteem ontwikkeld dat uiteindelijk evolueerde tot een geavanceerd zestigtallig stelsel, opgeschreven in spijkerschrift op kleitabletten. De beschaving in Mesopotamië omvatte veel volkeren en een lange tijd, we gooien hier alles op één hoop en spreken over de "Babylonische wiskunde".

Op kleitabletten zijn veel wiskundeproblemen teruggevonden, waarschijnlijk was dat vaak gewoon schoolwerk. Kwadratische vergelijkingen komen vaak voor als problemen over het vinden van de lengte en breedte van een rechthoek of vierkant waar bepaalde andere eigenschappen voor gegeven zijn.

Een van de eenvoudigste voorbeelden is de volgende opgave. Ik heb de getallen al in onze notatie geschreven.

"Een getal is 7 groter dan zijn omgekeerde. Wat zijn dit getal en zijn omgekeerde?"

Met "omgekeerde" of "reciproke" wordt bedoeld: een getal dat met dit getal vermenigvuldigd $60$ oplevert. Dus $2$ en $30$ zijn reciproken van elkaar, $4$ en $15$ ook, enzovoorts.

Opgave 11

Probeer dit probleem eerst zelf op te lossen. Kom je een kwadratische vergelijking tegen of heb je het anders gedaan?

De oplossing van de Babyloniërs gaat als volgt. Het klinkt wat cryptisch, daarna gaan we bekijken wat ermee bedoeld wordt.

"Breek de 7 die de ene omgekeerde uitsteekt over de andere in tweeën, dat wordt 3,5. Combineer 3,5 met 3,5 zodat we 12,25 krijgen. Tel 60, de oppervlakte, op bij 12,25, dat wordt 72,25. Wat geeft in het kwadraat 72,25? Dat is 8,5. Teken 8,5 en 8,5, haal van de ene 3,5 af en tel bij de andere 3,5 op. De ene wordt 5, de andere wordt 12. Het getal is 12, de omgekeerde is 5."

Als je je deze vergelijking meetkundig voorstelt blijkt dat je best kunt snappen wat hier gebeurt!

Opgave 12

Vertaal het Babylonische probleem naar een meetkundig probleem en los het op op de manier van Al-Khwarizmi. Kijk nu nog eens naar de Babylonische oplossing. Begrijp je nu wat daar gebeurt?

Een ander probleem is het volgende:

"Ik heb de oppervlakte en zijde van mijn vierkant opgeteld en dat werd 0,75."

Opgave 13

1. Welke vergelijking hoort hierbij, in moderne notatie?

2. Een oppervlakte en een zijde optellen is meetkundig een beetje gek, een oppervlakte heeft twee dimensies en een zijde maar één. Kun je hier een oplossing voor verzinnen, zodat je toch een meetkundig probleem over oppervlaktes krijgt?

De oplossing op het kleitablet luidt als volgt:

"Je schrijft 1 op, het uitsteeksel. Je breekt de helft van 1 af. Je combineert 0,5 en 0,5. Je telt 0,25 op bij 0,75. 1 is het kwadraat van 1. Je haalt de 0,5 die je gecombineerd had weg van de 1 zodat de vierkantszijde 0,5 is."

Opgave 14

Los het probleem op met de meetkundige aanpak die Al-Khwarizmi ook gebruikte en laat zien dat deze oplossing ook weer precies overeenkomt met het Babylonische recept.

We bekijken nu een Babylonisch probleem dat hier wat op lijkt, maar toch echt anders is. Het gaat hier weer over een onbekend vierkant waar we de zijde van moeten bepalen:

"Ik heb mijn vierkantszijde van het binnenste van de oppervlakte afgehaald zodat het 870 werd."

Opgave 15

1. Welke vergelijking hoort hierbij?

2. Beschrijf – nog zonder naar het recept voor de oplossing te kijken – de overeenkomsten en verschillen met het vorige probleem.

Het recept bij dit probleem luidt als volgt:

"Je schrijft 1 op, het uitsteeksel. Je breekt de helft van 1 af. Je combineert 0,5 en 0,5. Je telt 0,25 op bij 870. 870,25 is het kwadraat van 29,5. Je telt de 0,5 die je gecombineerd hebt op bij 29,5 zodat de vierkantszijde gelijk is aan 30."

Opgave 16

Probeer het probleem meetkundig op te lossen. Vergelijk je oplossing met de stappen in het Babylonische recept.

Bewijs van de abC-formule

Al-Khwarizmi's meetkundige methode werkt alleen bij de vergelijkingen die de juiste vorm hebben. Bovendien moeten bij hem alle oplossingen en ook alle coëfficiënten positieve getallen zijn. We hebben echter gezien dat zijn methode overeenkomt met het kwadraat afsplitsen, en dat werkt wél voor alle vormen van kwadratische vergelijkingen. Als de x’en aan de andere kant van het =-teken staan, zoals bijvoorbeeld bij $x^2+21=10x,$ waar Al-Khwarizmi een ander recept voor nodig had, kunnen wij die met onze moderne notatie en negatieve getallen wel omschrijven naar de handige vorm: $x^2-10x=-21.$

Opgave 17

Los die vergelijking op met kwadraat afsplitsen en laat zien dat dat geen probleem is.

Opgave 18

Los ook de laatste Babylonische vergelijking, $x^2-x=870,$ op met kwadraat afsplitsen en vergelijk je stappen weer met het meetkundige recept.

Op precies deze manier kun je het principe van kwadraat afsplitsen gebruiken om de abc-formule te bewijzen! Dat is wel wat gepruts met letters, maar het kan. Een leuke uitdaging!

Opgave 19

Los de vergelijking $ax^2 + bx + c = 0$ op met behulp van kwadraat afsplitsen. Schrijf daartoe eerst de vergelijking in de vorm $ax^2+bx=-c,$ deel de hele vergelijking door $a$ en ga verder met kwadraat afsplitsen tot je de abc-formule hebt.

 

Bekijk oplossing