In het septembernummer hebben we geanalyseerd wanneer een natuurlijk getal te schrijven is als som van twee kwadraten. De eerste twintig getallen waarvoor dit geldt zijn 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36 en 37. Relatief treedt deze situatie niet vaak op: een natuurlijk getal m is alleen dan als som van twee kwadraten te schrijven als alle priemfactoren van m van de vorm 4n + 3 voorkomen met even macht.

In het novembernummer hebben we ons gebogen over de vraag welke getallen je als som van vier kwadraten kunt schrijven. Wat bleek? Dat lukt met élk natuurlijk getal, vaak zelfs op meerdere manieren.

Het tussenliggende geval – het schrijven van een getal als som van drie kwadraten –werd aan het eind van de achttiende eeuw door Legendre volledig uitgezocht.

Het onderwerp is overigens nog steeds in ontwikkeling. In de eenentwintigste eeuw zijn er weer spannende resultaten geboekt: zoek maar op internet naar de onderwerpen 15-stelling en 290-stelling (Engels: 15 theorem en 290 theorem).

GIRARD, EULER, LEGENDRE EN LAGRANGE

Zoals we al opmerkten, kun je elk natuurlijk getal schrijven als som van vier kwadraten. Laten we eens naar een algemenere variant kijken. We vragen ons af welke natuurlijke getallen te schrijven zijn als $ax^2 + by^2 + cz^2 + dw^2$. Hier zijn zowel a, b, c en d als x, y, z en w niet-negatieve gehele getallen.

Om een idee te krijgen, geven we een voorbeeld: door middel van x2 + y2 + z2 + 8w2 (dus a = b = c = 1 en d = 8) kunnen de getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40, … worden gerepresenteerd. Hoe het precies zit, zal straks duidelijk worden.

Een uitdrukking als $x^2 + y^2 + z^2 + 8w^2$ wordt een kwadratische vorm genoemd. Zo’n kwadratische vorm kan ook nog termen met xy, xz, xw, yz, yw en zw bevatten, maar dergelijke vormen bekijken we niet in dit artikel. Voor sommige kwadratische vormen bestaan mooie stellingen, zoals:

Stelling 1 (Representatie door twee kwadraten, Albert Girard, 1634, en Leonhard Euler, 1755). Als n wordt gerepresenteerd door $x^2 + y^2$, dan is n van de vorm

$$n = 2^k ·\Pi p_i^{k_i} ·\Pi q_j^{2m_j}.$$

Hierin zijn $p_i$ de priemgetallen die een viervoud plus 1 zijn en $q_j$ de priemgetallen die een viervoud plus 3 zijn.

In het septembernummer beschreef Paul Levrie precies waarom dit zo is en hoe je deze twee kwadraten vindt. Als het kan, kan het soms ook op meerdere manieren. Onder de eerste honderd natuurlijke getallen die worden gerepresenteerd door $x^2 + y^2$ bevinden zich 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100. Dat zijn 43 van de 100 getallen.

Stelling 2 (Representatie door drie kwadraten, Adrien-Marie Legendre, 1797-1798). De waarden van n die niet worden gerepresenteerd door $x^2 + y^2 + z^2$ zijn van de vorm $n = 4^k · (8m + 7)$.

De getallen kleiner dan 100 die niet worden gerepresenteerd door $x^2 + y^2 + z^2$, zijn 7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71, 79, 87, 92 en 95. Dat zijn er 15; de andere 85 kunnen dus wel worden gerepresenteerd.

Stelling 3 (Representatie door vier kwadraten, Joseph-Louis Lagrange, 1770). Elk natuurlijk getal n kan worden gerepresenteerd door $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$.

Dit resultaat kan je teruglezen in het artikel van Jan Guichelaar in het novembernummer.

DICHTHEID VAN EEN VERZAMELING

We doen een gedachtenexperiment. Stel, je hebt een grabbelton met oneindig veel ballen, genummerd 1, 2, 3, 4 en zo verder. Elk natuurlijk getal komt precies één keer voor in de grabbelton. Als je nu willekeurig een bal trekt, wat is dan de kans dat je een getal trekt dat kan worden gerepresenteerd als som van twee kwadraten? Of als som van drie kwadraten? Of vier? Dit laatste geval is duidelijk: op grond van stelling 3 is die kans gelijk aan 1. Maar voor twee of drie kwadraten is het niet zo simpel.

Nog een voorbeeld: wat is de kans dat het getrokken getal oneven is? Als er niet oneindig veel ballen in de bak zitten, maar slechts negen, genummerd 1 tot en met 9, dan gaat het om de vraag hoe groot is de kans dat we een getal kiezen uit de verzameling {1, 3, 5, 7, 9}. Die kans is $\frac{5}{9}$ . Bevat de grabbelton de eerste honderd getallen, dan is de kans $\frac{1}{2}$ , en ga je tot en met 101, dan is de kans $\frac{51}{101}$ .

Laatste voorbeeld: wat is de kans dat het getrokken getal een kwadraat is? Als we ons beperken tot de getallen 1 tot en met $n^2$, dan gaat het om de vraag hoe groot de kans is dat we een van de getallen 1, 4, 9, …, $n^2$ kiezen. Deze kans is gelijk aan 1/n. Kiezen we een getal uit de verzameling {1, 2, 3, …, m – 1, m}, dan is de kans op een kwadraat ongeveer gelijk aan 1/√m. Naarmate m groeit, wordt de kans dat het getrokken getal een kwadraat is kleiner.

Om wiskundig te formuleren wat we zojuist hebben gedaan, gebruiken we het begrip dichtheid van een verzameling. We noemen de verzameling van positieve gehele getallen met een bepaalde eigenschap V. In het laatste voorbeeld is V dus de verzameling van alle kwadraten. We schrijven $A_n$ voor de verzameling van de eerste n positieve gehele getallen, dus $A_n = {1, 2, 3, …, n}$. We bepalen

$$\frac{|V\cap A_n |}{|A_n |}$$

voor steeds grotere waarden van n, waarbij |·| het aantal elementen van een verzameling inhoudt. Als deze limiet bestaat, noemen we dit de dichtheid van de verzameling V. De dichtheid van V is dus gedefinieerd als

$$\lim_{n\to\infty} \frac{|V\cap A_n |}{|A_n |}.$$

In ons voorbeeld met de oneven getallen is deze limiet gelijk aan 1 2 en in het voorbeeld met de kwadraten is deze limiet 0. Deze limietwaarde is nu de kans dat de getrokken bal (uit de grabbelton die álle natuurlijke getallen bevat) uit de verzameling V komt. Het is misschien even wennen dat die kans nul kan zijn, zelfs als V oneindig veel elementen bevat, zoals in het voorbeeld met de kwadraten.

Om met het begrip dichtheid te oefenen, kun je proberen zelf te berekenen hoe groot de kans is dat een willekeurig gekozen natuurlijk getal

• deelbaar door 3 is,
• deelbaar door 3 en 5 is,
• geen 4 heeft in zijn decimale representatie.

SOM VAN TWEE KWADRATEN

Wat zou de kans zijn dat een willekeurig gekozen natuurlijk getal te schrijven is als som van twee kwadraten? Die kans blijkt 0 te zijn; er geldt namelijk de volgende stelling.

Stelling 4. De verzameling $V_2$ van getallen die kunnen worden geschreven als som van twee kwadraten heeft dichtheid 0.

Helaas kunnen we deze stelling hier niet bewijzen, maar we kunnen wel proberen aannemelijk te maken dat de stelling waar is. Als we kijken naar de eerste honderd getallen, dan is de dichtheid van getallen die als som van twee kwadraten kunnen worden geschreven nog 0,43. Voor de eerste 1.000 getallen is de dichtheid 0,33, en bij 1.000.000 is de dichtheid afgenomen tot 0,216. We zien dat de dichtheid langzaam omlaag gaat. Maar dat de limietwaarde 0 is (en niet bijvoorbeeld 0,1), is daarmee nog niet duidelijk.

Volgens stelling 1 geldt dat een getal dat als som van twee kwadraten kan worden geschreven geen 'losse' factor 3 bevat. Factoren 3 komen dus altijd voor in paren. Als we de getallen 1 tot en met 9 bekijken, dan bevatten 3 en 6 een ‘losse’ factor 3. De andere getallen bevatten hetzij géén factor 3 (1, 2, 4, 5, 7 en 8) óf twee factoren 3. Per negen getallen zullen dus zeker twee getallen niet te schrijven zijn als som van twee kwadraten. Maar daarnaast kunnen ook $27 = 3^3$ en $54 = 2 · 3^3$ niet worden geschreven als som van twee kwadraten. Zo doorredenerend vinden we uiteindelijk dat de dichtheid van getallen met een even aantal factoren 3 gelijk is aan

$$1− \frac{2}{3^2} − \frac{2}{3^4} − \frac{2}{3^6} −... = \frac{3}{4}.$$

Eenzelfde redenering geldt voor de priemgetallen 7, 11, 19, 23, … Voor 7 vinden we dat $\frac{7}{8}$ deel van de getallen een even aantal factoren 7 bevat. Voor elke volgende priem is dat $\frac{p}{p+1}$ .

Omdat bij getallen die te schrijven zijn als som van twee kwadraten elk priemgetal van de vorm 4k + 3 moet voorkomen in paren, moet aan elke bovenstaande voorwaarde tegelijk worden voldaan. Dat betekent dat de dichtheid van de verzameling $V_2$ kleiner is dan of gelijk aan het product

$$\Pi_{p\equiv 3 mod 4} \frac{p}{p+1}$$

van deze dichtheden. Dit is een lastige uitdrukking, maar er valt na te gaan dat dit product heel langzaam naar 0 convergeert. Concluderend: de kans dat een willekeurig gekozen natuurlijk getal te schrijven is als som van twee kwadraten, is 0.

SOM VAN DRIE KWADRATEN

De kans dat een willekeurig gekozen natuurlijk getal te schrijven is als som van drie kwadraten, is verrassend genoeg eenvoudiger te bepalen. Er geldt:

Stelling 5. De verzameling $V_3$ van getallen die kunnen worden geschreven als som van drie kwadraten heeft dichtheid $\frac{5}{6}$.

Om deze stelling te bewijzen, bekijken we de getallen die niet als som van drie kwadraten kunnen worden geschreven. Om te beginnen zijn dat 7, 15, 23, 31, …, ofwel de 8-vouden + 7. Per acht getallen is dat één getal. De dichtheid van de verzameling die uit deze getallen bestaat, is $\frac{1}{8}$ . Vervolgens hebben we de getallen 28, 60, 92, …, ofwel de 32-vouden + 28. De dichtheid van de verzameling die uit deze getallen bestaat, is gelijk aan $\frac{1}{32}$. Daarna volgen 112, 240, 368, …, met dichtheid $\frac{1}{128}$ .

Uiteindelijk is de dichtheid van de verzameling getallen die niet als som van drie kwadraten kunnen worden geschreven, gelijk aan

$$\frac{1}{8}+ \frac{1}{32} + \frac{1}{128}+... = \frac{1}{8}\left(1+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{16}\right)= \frac{1}{8}·\frac{4}{3}= \frac{1}{6}.$$

Met andere woorden: de verzameling $V_3$ heeft dichtheid $1− \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ .

TWINTIGSTE-EEUWSE RESULTATEN

Louis Mordell bepaaalde in 1930 van een lange lijst van kwadratische vormen met drie termen welke getallen er door gerepresenteerd konden worden. Voor bijvoorbeeld de kwadratische vorm $2x^2 + 3y^2 + 3z^2$ geldt: alle natuurlijke getallen kunnen hierdoor worden gerepresenteerd, behalve getallen van de vorm $9^k · (3m + 1)$. De dichtheid van de verzameling die uit deze getallen bestaat, is $\frac{5}{8}$ .

John Conway en William Schneeberger formuleerden in 1993 de volgende verrassende stelling over kwadratische vormen van vier termen. De stelling maakt het bijzonder gemakkelijk om te ontdekken of de uitdrukking alle natuurlijke getallen representeert.

Stelling 6 (15-stelling, Conway-Schneeberger, 1993, en Bhargava-Hanke, 2000). Om na te gaan of een kwadratische vorm $ax^2 + by^2 + cz^2 + dw^2$ alle natuurlijke getallen kan representeren, volstaat het om alleen te controleren of 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14 en 15 kunnen worden gerepresenteerd.

Deze stelling maakt het wel zeer eenvoudig om uit te vinden of een kwadratische vorm alle getallen representeert. Het bewijs van Conway en Schneeberger is echter zo ingewikkeld dat zij het niet op papier hebben gezet. Voor Manjul Bhargava en Jonathan Hanke een reden om zich op deze materie te storten. Met succes: in 2000 gaven zij een (relatief) eenvoudig bewijs.

Representeert $x^2 + y^2 + z^2 + 2w^2$ alle natuurlijke getallen? We gaan het na met de 15-stelling. Het getal 1 is te schrijven als $1^2 + 0^2 + 0^2 + 2 · 0^2$. En 15 is te schrijven als $0^2 + 2^2 + 3^2 + 2 · 1^2$. Ga zelf na dat het ook lukt met de tussenliggende getallen 2, 3, 5, 6, 7, 10 en 14. Conclusie: de kwadratische vorm $x^2 + y^2 + z^2 + 2w^2$ representeert alle natuurlijke getallen.

Gaat het ook wel eens mis? Als je even doorrekent, blijkt $x^2 + y^2 + z^2 + 8w^2 = 7$ onoplosbaar. De enige kwadratische vorm $ax^2 + by^2 + cz^2 + dw^2$ die 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10 en 14 wél representeert, maar 15 níét, is $x^2 + 2y^2 + 5z^2 + 5w^2$. Het blijkt dat deze kwadratische vorm alleen 15 niet representeert, maar wel alle natuurlijke getallen groter dan 15.

LITERATUUR

Voor dit artikel is onder meer gebruikgemaakt van de artikelenbundel Quadratic Forms and Their Applications (1999), met onder ondere de artikelen ‘Universal quadratic forms and the fifteen theorem’ van John Conway en ‘On the Conway-Schneeberger fifteen theorem’ van Manjul Bhargava. De bundel is hier te vinden: http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/books/dublin.pdf.

In Memoriam Jan Turk (1951-2015)

Jan Turk, een van de auteurs van dit artikel, is vorig jaar 26 maart plotseling aan een hersenbloeding overleden. Hij was de voorzitter van het Management Team van Pythagoras en heeft ervoor gezorgd dat het blad weer een stevige en financieel gezonde structuur heeft.

Jan is van grote betekenis geweest voor dit blad. Ik werkte vrijwel dagelijks met hem samen. Het was fijn dat hij naast zijn realistische houding zo’n idealisme bezat met een grote liefde voor wiskunde. Als specialist in de getaltheorie schreef hij in zijn promotietijd een artikel samen met de beroemde Hongaar Paul Erdős. Later werd hij ICTspecialist.

Enige weken voor zijn dood stuurde Jan ons dit artikel. Matthijs Coster maakte het daarna gereed voor publicatie.

We missen Jan zeer.

Derk Pik, hoofdredacteur