Legpuzzels en tafels
[oOO]
Als je een legpuzzel gaat maken, leg je eerst alle stukjes neer (met beeld naar boven). Hoe groot is de oppervlakte die je daarvoor nodig hebt, vergeleken met de oppervlakte van de puzzel als die af is?
Op de doos van een legpuzzel staan altijd wel twee belangrijke gegevens: het aantal stukjes en de afmetingen van de afbeelding (lengte en breedte). Dan weet je in ieder geval hoe groot de tafel moet zijn waar je de puzzel gaat maken. Maar … hoeveel ruimte heb je nodig voor je begint, als alle stukjes nog los op tafel liggen (met plaatje naar boven)? Dat is nu uitgezocht, door Madeleine en Kent Bonsma-Fisher uit Toronto. Met een paar eenvoudige aannamen kwamen ze tot een verrassend eenvoudige formule die ook nog eens verrassend goed werkt.
Hier is hun methode: neem de oppervlakte $A$ van de puzzel als die af is, die staat op de doos dus die weet je vooraf. Deel die oppervlakte door het aantal stukjes $N$. De gemiddelde oppervlakte van een stukje is dus $A/N$. Nu is een puzzelstukje op de in- en uitstulpingen na bijna vierkant. Een vierkant met oppervlakte $A/N$ heeft zijden die $\sqrt{A/N}$ lang zijn; de diagonaal is dan $d=\sqrt{sA/N}$ lang. Wat blijkt nu? Het hele puzzelstukje past vrijwel precies in een cirkel met diameter $d$ en als je de stukjes op tafel legt dan moet je er eigenlijk voor zorgen dat die cirkels elkaar niet overlappen.
Maar men weet al heel lang dat de beste manier om cirkels van gelijke diameter zo economisch mogelijk neer te leggen volgens een zeshoekig patroon is: elke cirkel raakt aan zes cirkels en de middelpunten van die rakende cirkels vormen een regelmatige zeshoek. De zijden van die zeshoek verbinden telkens twee middelpunten en hebben dus lengte $d$; de oppervlakte van de zeshoek is dan $\tfrac{3}{2}\sqrt{3}d^2$.
Nu overdekt zo'n zeshoek in feite drie cirkels: de cirkel in het midden en één-derde van elke rakende cirkel. Dat betekent dat we $\tfrac{1}{3}N$ zeshoeken nodig hebben om de stukjes (én de tussenruimte) te overdekken.
Conclusie: als alle stukjes nog los liggen hebben we een gebied nodig dat ten minste de volgende oppervlakte heeft:
$$\frac{1}{3}\cdot N\cdot\frac{3}{2}\sqrt{3}\cdot d^2=\frac{1}{3}\cdot N\cdot\frac{3}{2}\sqrt{3}\frac{2A}{N}=\sqrt{3}A.$$
De schrijvers hebben hun formule aan negen legpuzzels getoetst en de factor $\sqrt{3}$ werkt wonderwel.
In hun artikel staan de metingen in een tabel en ook nog in een grafiek uitgezet; de meetpunten liggen mooi dicht bij de lijn met helling $\sqrt{3}$.
