Het van oorsprong Japanse spel Go wordt gespeeld door twee personen. Het spelbord bestaat uit 381 velden, die bepaald zijn door de snijpunten van 19 horizontale en 19 verticale lijnen. Zwart, de beginnende speler, heeft de beschikking over 191 stenen; wit heeft er 190. Om beurten plaatsen zij een steen op een snijpunt. Go is een intrigerend spel. Het is kort gezegd een positiespel dat een moeilijk te doorgronden combinatie is van 'insluiten' (en het daarbij soms slaan van stenen van de tegenstander) en 'veroveren van gebied'. In dit artikel speelt alléén het insluiten met Go-stenen een rol.

Figuur 1 toont hoe een witte steen is omringd door vier zwarte stenen. In deze situatie wordt de witte steen 'geslagen' en van het bord genomen door zwart, omdat de witte steen in horizontale en verticale richting geen 'vrijheden' meer heeft. Zo kan ook een groep stenen worden geslagen.

In figuur 2 worden drie witte stenen geheel omsingeld door (zeven) zwarte stenen. De insluiting in de tweede figuur zou ook met meer stenen kunnen, maar zeven is het kleinste aantal zwarte stenen dat de witte groep van drie stenen kan insluiten (en slaan). Het insluiten is dus alleen horizontaal en verticaal.

Ik stelde mij een keer voor dat er in een partij van een ervaren Go-speler (die met zwart speelde en dus het spel begon) tegen een beginnende speler (met wit) het volgende gebeurde. Na een aantal zetten bleek dat wit zijn stenen zodanig onhandig had opgesteld, dat zwart in de volgende zet alle witte stenen in één keer kon insluiten en dus van het bord mocht nemen. Tevens bleek dat dit aantal zetten het kleinste aantal is waarbij zo'n stenenverovering- -in-een-keer mogelijk van wit door zwart is.

Opgave 1 Hoeveel zetten hebben beide spelers gedaan, en wat is de stelling op het moment dat zwart zijn insluitende zet doet?

Stel dat zwart de vier stenen heeft opgesteld zoals in figuur 1. Stel verder dat wit dan pas een witte steen tussen die vier zwarte plaats. Dat zou 'zelfmoord' zijn, zegt Go, want die witte steen is direct verloren. Dat geldt ook als wit bijvoorbeeld twee van de drie stenen heeft in figuur 2 en er een derde bij plaatst. Figuur 3 toont een schijnbare uitzondering op de zelfmoordregel.

Wanneer zwart een van zijn stenen in het midden plaatst, lijkt dit in eerste instantie op zelfmoord. Omdat de witte groep dan op zijn beurt weer is ingesloten door zwarts zet, gaat niet de zwarte steen, maar de hele witte groep verloren! Zwarts schijnbare zelfmoord levert hem acht witte stenen op.

Kan je een groep maken die 'veilig' is, met andere woorden, een groep die nooit geslagen kan worden? Ja, dat kan, bijvoorbeeld met de opstelling in figuur 4.

Hierin heeft wit een groep van dertien stenen met twee zogeheten ogen (de witte groep in figuur 3 heeft slechts één oog). Zwart kan nu zijn zelfmoordzet niet uitvoeren, omdat hij dan twee stenen tegelijk zou moeten plaatsten, hetgeen in Go niet toegestaan is. We krijgen de volgende regel in Go: Een groep met twee ogen leeft.

Merk op dat de witte groep in de laatste figuur onvoorwaardelijk leeft. Bij een eventuele veroveringspoging door zwart kan wit rustig toekijken; er is geen enkel tegenzet nodig.

Opgave 2 Vind een levende groep met een zo klein mogelijk aantal stenen, midden op het bord.

Opgave 3 Vind een levende groep met een zo klein mogelijk aantal stenen, op de rand van het bord.

Opgave 4 Vind een levende groep met een zo klein mogelijk aantal stenen, in een hoek van het bord.

Een groep in Go met twee of meer ogen 'leeft' dus onvoorwaardelijk. Ik vroeg mij af hoe dat in 'driedimensionaal Go' was. Dat spel bestaat niet, maar we kunnen het ons gemakkelijk voorstellen. In 3D-Go heeft bijvoorbeeld wit zes stenen nodig om één zwarte steen geheel in te sluiten, namelijk de vier uit '2D-Go' en nog twee stenen, er onder en boven. 2D-Go speelt men op een 19×19-bord. We nemen even aan dat 3D-Go op een oneindig groot bord wordt gespeeld. Met andere woorden: ik beschouw bij de volgende vraag geen randen of hoeken van een 3D-bord.

Opgave 5 Wat is de kleinste onvoorwaardelijk levende groep in 3D-Go?

 

Opgave 1 komt uit Denkwaar (2010). De opgaven 2 tot en met 4 zijn uit Denkwerk (2014). Opgave 5 is gepubliceerd in Denkstof (2024).