De Opgave Annemiek en Bart hebben elk drie verschillende positieve gehele getallen op een briefje geschreven. Het blijkt dat er precies één getal is dat op allebei hun briefjes staat. Verder geldt dat als je twee verschillende getallen van Annemieks briefje neemt en die optelt, de uitkomst altijd een getal op Barts briefje is. Eén van de drie getallen op het briefje van Annemiek is haar lievelingsgetal, en als je dat met $3$ vermenigvuldigt, krijg je ook een getal van het briefje van Bart. Op Barts briefje staat zijn lievelingsgetal en dat is $25$. Wat is het lievelingsgetal van Annemiek?

De opdracht in het kader hierboven was één van de opdrachten van de eerste ronde van de Wiskunde Olympiade van het afgelopen jaar. Dit is een voorbeeld van een opgave waarbij het in eerste instantie lijkt alsof je over veel te weinig  informatie beschikt om een antwoord te kunnen vinden, maar dit blijkt wel mogelijk te zijn. Om een beter idee te krijgen welke informatie we hebben, gaan we eerst maar eens kijken wat er zou gebeuren als de getallen op het briefje van Annemiek $1$, $3$ en $8$ zouden zijn.

De getallen die wij voor Annemiek hebben gekozen voldoen aan de voorwaarde dat het verschillende positieve gehele getallen zijn. Omdat de getallen van Bart allemaal de som van twee getallen van Annemiek zijn, zijn de getallen van Bart $1 + 3 = 4$, $1 + 8 = 9$ en $3 + 8 = 11$. We zien dat de twee grootste getallen van Bart allebei groter zijn dan het grootste getal van Annemiek. In de opdracht staat dat er een getal van Annemiek is dat ook op het briefje van Bart staat. Dit moet dan wel het kleinste getal van Bart zijn. Bij de getallen die wij hebben gekozen zien we dat dit niet het geval is. De door ons gekozen getallen voldoen wel aan de voorwaarde dat één van de getallen van Annemiek, vermenigvuldigd met $3$, op het briefje van Bart staat. Aan de laatste voorwaarde, ‘op Barts briefje staat zijn lievelingsgetal $25$’, wordt niet voldaan.

Om de getallen te vinden die wel aan alle voorwaarden voldoen gaan we het onszelf eerst iets makkelijker maken door de getallen van Annemiek allemaal een letter te geven. Hiervoor gebruiken we de letters $a$, $b$ en $c$. Zo is het duidelijk over welk getal we het hebben. Om het ons nog makkelijker te maken gaan we er vanuit dat $a$ het kleinste getal is en $c$ het grootste getal, het getal $b$ zit dan tussen $a$ en $c$ in. Dit schrijven we als volgt op: $a < b < c$. We weten ook al dat het allemaal positieve getallen zijn, dus weten we dat $0 < a < b < c$. Alle andere informatie die we hebben gaan we ook opschrijven als een formule met deze drie letters zodat we een overzicht kunnen krijgen van alle informatie waarover we beschikken.

In de opdracht staat dat we altijd een getal op het briefje van Bart krijgen als we twee getallen van Annemiek bij elkaar optellen. We kunnen nu de getallen van Bart ook opschrijven met $a$’tjes, $b$'tjes en $c$'tjes. De getallen van Bart zijn dan $a + b$, $a + c$ en $b + c$. Omdat we hadden gezegd dat $a < b < c$ weten we dat de getallen van Bart in de volgorde van klein naar groot staan.

Het gegeven dat er precies één getal is dat zowel een getal van Annemiek is, als een getal van Bart, gaan we nu gebruiken. De getallen van Annemiek zijn $a$, $b$ en $c$. De getallen van Bart zijn $a + b$, $a + c$ en $b + c$. Alle getallen van Bart zijn groter dan $a$ en groter dan $b$. Het getal dat Annemiek en Bart allebei op hun briefje hebben staan, moet dan wel het getal zijn dat wij $c$ hebben genoemd. Omdat $a + c$ en $b + c$ allebei groter zijn dan $c$, kan $c$ niet gelijk zijn aan een van deze twee getallen. De enige optie die overblijft is dat moet gelden dat $a + b = c$. We kunnen nu alle $c$'tjes vervangen door $a + b$. De getallen van Annemiek zijn nu $a$, $b$ en $a + b$, en de getallen van Bart zijn $a + b$, $2a + b$ en $a + 2b$.

We hebben alle getallen nu kunnen opschrijven met alleen nog maar de letters $a$ en $b$. Hierdoor is het een stuk makkelijker geworden om het antwoord te kunnen vinden. We moeten nu nog wel bepalen welke getallen deze letters zijn en we moeten er nog achter komen wat het lievelingsgetal van Annemiek is om de opgave helemaal op te lossen.

Van het lievelingsgetal van Annemiek weten we twee dingen: het is één van de getallen op haar papiertje en het drievoud staat op het papiertje van Bart. Om te weten welk van de getallen $a$, $b$ en $a + b$ het lievelingsgetal van Annemiek is moeten we weten welk van de getallen $3a$, $3b$ en $3a + 3b$ op het briefje van Bart staat. Het grootste getal van het briefje van Bart is gelijk aan $a + 2b$. Omdat we weten dat $a$ kleiner is dan $b$ weten we dat het grootste getal van Bart, $a + 2b$, kleiner is dan $3b$ en kleiner is dan $3a + 3b$. We houden nu alleen nog het getal $3a$ over wat dus op het briefje van Bart moet staan.

Vervolgens gaan we bepalen welk getal op het papier van Bart gelijk is aan $3a$. Omdat $b$ groter is dan $a$ kan dit alleen $a + b$ zijn; de getallen $2a + b$ en $a + 2b$ zijn allebei te groot. We weten nu $3a = a + b$, hieruit volgt $2a = b$. Doordat we dit weten kunnen we alles op gaan schrijven met alleen nog de letter $a$. De getallen van Annemiek zijn nu $a$, $2a$ en $3a$. De getallen van Bart zijn $3a$, $4a$ en $5a$.

Van het lievelingsgetal van Bart weten we ook twee dingen: het is een van de getallen op het papiertje van Bart en het is gelijk aan $25$. We weten dus dat een van de getallen $3a$, $4a$ en $5a$ (de getallen van Bart) gelijk is aan $25$.

Omdat $25$ niet deelbaar is door $3$ of door $4$, kunnen de getallen $3a$ en $4a$ niet $25$ zijn. Dan blijft alleen $5a$ over: $5a = 25$. Hierdoor weten we ook dat $a = 5$. Vervolgens weten we precies wat de getallen van Annemiek en Bart zijn. De getallen van Annemiek zijn $5$, $10$ en $15$ en die van Bart zijn $15$, $20$ en $25$. Omdat we van het lievelingsgetal van Annemiek weten dat het drievoud een getal van Bart is zien we door naar de getallen van Annemiek en Bart te kijken dat dit alleen de getallen $5$ en $15$ kunnen zijn. We weten nu dus wat het antwoord van deze opdracht is: het lievelingsgetal van Annemiek is $5$. 

Bij de eerste ronde wist 28% van de deelnemers het lievelingsgetal van Annemiek te vinden.

Wil je verder puzzelen en oefenen voor de eerste ronde van 2021? Alle opgaven van de afgelopen jaren staan op: www.wiskundeolympiade.nl/wedstrijdarchief/1e-ronde.