Het probleem is afkomstig van de Amerikaanse spelshow The Price is Right waar Monty Hall gastheer was (in Nederland kennen we een soortgelijk spel uit de Willem Ruis show). Een kandidaat werd geconfronteerd met drie gesloten deuren: achter één van de deuren stond een auto en achter de andere twee een geit. De kandidaat mocht een deur kiezen en kreeg dan als prijs wat achter die deur stond.

Om het extra spannend te maken werd de gekozen deur niet meteen geopend maar liet Monty Hall eerst de geit zien die achter één van de andere deuren stond. Dit was altijd mogelijk want er waren twee “foute” deuren. Met deze nieuwe informatie kreeg de kandidaat de mogelijkheid te kiezen tussen blijven bij zijn eerste keuze of switchen naar de overgebleven deur. Wat zou de beste tactiek zijn - blijven, switchen, of maakt het helemaal niks uit? Anders gezegd: biedt blijven of switchen méér kans op winst of zijn de kansen gelijk?

Speel het spel zelf op https://math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.html

Je kunt deze vraag beantwoorden met behulp van een tabel met alle mogelijkheden. Stel dat je deur 1 hebt gekozen.

prijs deur 1	prijs deur 2	prijs deur 3	resultaat blijven	resultaat switchen
auto	geit	geit	win auto	win geit
geit	auto	geit	win geit	win auto
geit	geit	auto	win geit	win auto

Je ziet dat je in twee van de drie gevallen de auto wint door te switchen!

Je kunt het ook nagaan met simpele berekening.

         Kans bij blijven = $\frac{1}{3}$

         Kans bij switchen = $\frac{1}{3}\times 0+\frac{2}{3}\times 1=\frac{2}{3}$

Bij switchen gaan goede antwoorden verloren, maar foute antwoorden worden altijd goed gemaakt en wij kunnen er vanuit gaan dat er twee keer zoveel foute als goede eerste antwoorden worden gegeven. Dit is ook te zien in het boomdiagram in figuur 1.

Figuur 1: Boomdiagram

Nu zegt je intuïtie misschien dat de clou ligt in het feit dat er meer foute deuren zijn dan goede.

Opgave 1 Probeer een berekening te maken in het geval dat er $n$ goede deuren en $n$ foute deuren zijn (met $n\ge 2$). Blijft switchen nog de beste tactiek?

 

Opgave 2 Probeer het ook eens met $n$ goede deuren en $m$ foute deuren (met $m\ge 2$).

Nu zegt je intuïtie misschien dat switchen altijd een betere kans oplevert omdat het de nieuwe informatie gebruikt en dus meer overzicht heeft.

Opgave 3 Probeer dan een berekening in de volgende situatie: er zijn $n$ goede deuren en $m$ foute deuren (met $n\ge 2$) maar na de eerste keuze wordt een goede deur open gemaakt in plaats van een foute deur. Wat is nu de betere tactiek?

Bij veel goocheltrucjes wordt een afleidingsmanoeuvre gebruikt om iets stiekem te doen. Hier blijkt de keuze van de gastheer de beslissende factor terwijl de aandacht van de kandidaat wordt gericht op zijn keuze uit de overgebleven deuren.

Als laatste beproeving voor je intuïtie stel je de volgende situatie voor: we gaan uit van de klassieke driedeurs situatie maar de “kandidaat” is nu een echtpaar. Er is een meningsverschil over welke deur gekozen moet worden. Het zijn twee lieve mensen maar ze hebben allebei een sterk gevoel bij hun eerste keuze. Ze zijn ook tactisch goed op de hoogte. Niemand geeft toe en de tijd dwingt. Eén heeft het goed en de ander niet en dit geeft de gastheer de kans om te melden dat de derde mogelijkheid in ieder geval fout is. Wat gaat er nu gebeuren?

Bekijk oplossing