Het Borromeaanse drietal ruimtelijke twaalfhoeken in figuur 1 is uit te breiden tot een zogenaamd Borromeaans matje. Maar het wordt geen mooi matje. Want door elke gekleurde ring past nog maar één andere ring. Neem de rode ring; naast de witte en de zwarte ring is er nog ruimte voor bijvoorbeeld een grijze ring. De rode en die grijze ring kunnen dan niet met nog een derde ring een Borromeaanse drietal vormen. Wel zouden door die grijze ring weer twee andere ringen passen waarmee wel een Borromeaans drietal gevormd kan worden. Evenzo past door de witte en de zwarte ring ook een grijze ring. Ook die kan met twee andere ringen weer een Borromeaans drietal vormen. En zo verder. Kortom het wordt dan een onvolledig Borromeaans matje. Niet elke koppeling is Borromeaans.

ECht Borromeaans

Koos Verhoeff ontwierp een constructie die dat wel in zich heeft (figuur 2). Het is een schakeling van vijftien ruimtelijke twaalfhoeken zoals in figuur 3A. Zo’n ruimtelijke twaalfhoek bestaat uit twaalf even lange balkjes met vierkante doorsnede. De figuren 3B en 3C laten zien hoe elk Borromeaans drietal twaalfhoeken in elkaar zit en verder
kan worden uitgebreid zoals in figuur 3D en 3E. Daarin heeft geen enkel Borromeaans drietal twee of drie ruimtelijke twaalfhoeken van dezelfde kleur. Elk drietal bestaat uit de kleuren rood, grijs en blauw.

A	B	D	E
C
Figuur 3

Draaisymmetrie

De omhullende van een zo'n ruimtelijke twaalfhoek in figuur 3A doet denken aan een gelijkzijdige driehoek. Net als een gelijkzijdige driehoek heeft figuur 3A een symmetrie-as door het middelpunt loodrecht op het papier. De constellaties uit de figuren 2 en 3E hebben dat ook. Hun omhullende vorm is eveneens een gelijkzijdige driehoek. Draai je ze $120^{\rm o}$ om een as loodrecht door hun middelpunt dan vallen de gedraaide en de originele figuur precies over elkaar heen. Vanwege de kleuren gaat dit niet op voor de figuren 3B en 3D. Zou je daar de twaalfhoeken net als in figuur 2 dezelfde kleur geven dan wel.

Opgave 1 Druk de lengte van de balkjes in de ruimtelijke twaalfhoek van figuur 3 uit in de dikte van de balkjes. Opgave 2 Net als bij figuur 2 kan onder figuur 3E een volgende serie van vijf ruimtelijke twaalfhoeken worden geschakeld. Geef de volgorde van kleuren in die serie van vijf aan. Opgave 3 Na het aanbrengen van die serie van vijf is de drietallige draai- of rotatiesymmetrie van figuur 3E verloren gegaan. Hoeveel twaalfhoeken moeten er aan worden toegevoegd om weer opnieuw een draaisymmetrisch geheel te krijgen? Geef per laag de volgorde van de kleuren aan.

Verdere uitbreiding

De figuren 3E en 2 kunnen naar believen in elke richting worden uitgebreid, zodat ze het hele platte vlak bedekken. Bij de gekleurde versie van 3E kan dat zelfs zonder dat er Borromeaanse drietallen voorkomen met twee of drie twaalfhoeken van dezelfde kleur. Alle Borromeaanse drietallen bestaan uit de drie kleuren rood, grijs en blauw!

Omdat er in zo'n uitbreiding, ook al in figuur 3E sprake is van meerdere Borromeaanse drietallen, moet bij elk drietal één van de componenten worden 'doorgeknipt' om alle andere volledig vrij te zien liggen. Dat kan door alle twaalfhoeken met dezelfde kleur 'door te knippen', die met de andere kleuren liggen dan allemaal los. Controleer dat maar aan de hand van figuur 3E. Knip in gedachten alle twaalfhoeken van om het even welke kleur door en neem ze weg. Dan komen de overgebleven twaalfhoeken met de andere twee kleuren volledig vrij te liggen.

Zonder het houvast van de kleuren is het in figuur 2 een stuk lastiger om alles zo efficiënt mogelijk los krijgen. Dat wil zeggen door zo weinig mogelijk twaalfhoeken door te knippen en weg te halen.

 

* Gebruikt met toestemming van stichting Wiskunst Koos Verhoeff.