Antwoord 1:

De driehoek die Archimedes hier beschrijft, heeft in onze termen als ene rechthoekszijde lengte $r$ en als andere rechthoekszijde de omtrek, dus $2πr$. De oppervlakte is dan $\frac{1}{2} · r · 2\pi r =\pi r^2$.

Antwoord 2:

De oppervlakte van driehoek $AOE$ is gelijk aan $\frac{1}{2} · ON · AE$. Als we alle driehoekjes in de veelhoek bij elkaar optellen, krijgen we een oppervlakte die gelijk is aan $\frac{1}{2} · ON · (AE + EB + ... ) = \frac{1}{2} · ON· $omtrek van de veelhoek. Oftewel, omdat $ON$ kleiner is dan de straal en de omtrek van de veelhoek kleiner is dan de omtrek van de cirkel: opp veelhoek $< \frac{1}{2}·$ straal⋅omtrek van de cirkel = $K$.

Antwoord 3:

Nu geldt dat een loodlijntje van O naar een zijde van de veelhoek (in het plaatje bijvoorbeeld OA als we naar de achthoek zouden kijken) gelijk is aan de straal van de cirkel. De oppervlakte van de veelhoek is de oppervlakte van alle driehoekjes van de vorm van FOG samen, oftewel: opp. veelhoek $=\frac{1}{2}·$ straal$⋅(FG + ... ) = \frac{1}{2}·$ straal⋅som van de zijden van de veelhoek $> \frac{1}{2}·$ straal⋅omtrek van de cirkel $= K$, omdat de omtrek van de veelhoek natuurlijk groter is dan die van de cirkel.

Antwoord 6:

Dat kun je bijvoorbeeld inzien door om te schrijven naar breuken.

$$\frac{CO+OA}{OA} = \frac{CO}{OA}+ \frac{OA}{OC}= \frac{CO}{OA}+1 = \frac{CD}{DA}+1 = \frac{CD}{DA}+ \frac{DA}{DA} = \frac{CD+DA}{DA}= \frac{CA}{DA},$$

dus uit $CO : OA$ volgt inderdaad dat $(CO + OA ): OA = CA : DA.$ Uit $\frac{CO+OA}{OA}= \frac{CA}{DA}$ volgt ook dat $(CO + OA) : CA = OA : DA$, omdat de ene breuk in feite een “vereenvoudiging” van de andere is, dus de teller en noemer zullen met eenzelfde factor vermenigvuldigd zijn, dus dezelfde verhouding hebben.

Antwoord 7:

Pythagoras geeft $OD^2 = OA^2 + AD^2$ . We weten $OA : AD > 571 : 153$, dus $OA^2 : AD^2 > 571^2 : 153^2 = 326041 : 23409$ en (uiteraard) $AD : AD = 1 : 1 = 153 : 153$, zodat $AD^2 : AD^2 = 23409 : 23409$. De verhoudingen zijn gelijknamig, dus kunnen we concluderen dat $OD^2 : AD^2 > 326041 + 23409 : 23409 = 349450 : 23409. 

Worteltrekken levert nu $OD : AD > \sqrt{349450} : 153 > 591\frac{1}{8}: 153$. In die laatste stap zien we weer dat Archimedes voor een breuk kiest die redelijk dichtbij ligt en waarbij de afschatting de juiste kant op verloopt.

Antwoord 8:

a) Hoek $AOC = 30˚$. Steeds halveren levert hoek $AOG = 1\frac{7}{8}˚$. Dan is hoek $GOH$ dus twee keer zo groot, dus $3\frac{3}{4}˚$. Dat is precies $\frac{1}{96}$ van 360˚.

b) Dat betekent dus dat 96 keer zijde GH de omtrek is van de omgeschreven regelmatige 96-hoek.

Verder weten we dat $OA : AG > 4673\frac{1}{2}: 153$, dat $AB = 2 OA$ en $GH = 2 AG.$ Dus AB : omtrek van de veelhoek $> 4673\frac{1}{2} : 153 · 96$ dus AB : omtrek van de veelhoek $> 4673\frac{1}{2} : 14688. 

Er geldt $\frac{14688}{4673\frac{1}{2}}= 3+\frac{667\frac{1}{2}}{4673\frac{1}{2}}$ en dat schat Archimedes als volgt af: $3+ \frac{667\frac{1}{2}}{4673\frac{1}{2}} < 3+ \frac{667\frac{1}{2}}{4673\frac{1}{2}}= 3+ \frac{1}{7}.