Oplossing De illusionist en de wiskundige
| Wiskundige: | 'Daar ben ik weer. Ik weet hoe de kaarten werken. Je sommeert de getallen in de linkerbovenhoek $(1, 2, 4, 8, 16, 32)$ van alleen die kaarten waarop het getal staat. Dus in mijn geval van laatst (niet – wel – wel – niet – wel – wel): $2 + 4 + 16 + 32 = 54.$’ |
| Illusionist: | ‘Ja, zo doe ik het.’ |
| Wiskundige: | ‘Ik zal het uitleggen. Het is gebaseerd op het tweetallig stelsel. In het gebruikelijke tientallig stelsel drukken we getallen uit in machten van $10$. Het getal $368$ bijvoorbeeld beduidt dat de waarde gelijk is aan $3 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 8 \cdot 1$. Dat kun je ook schrijven als $8\cdot 10^0 + 6\cdot 10^1 + 3\cdot 10^2$ (je ziet: ik schrijf het achterstevoren). In het tweetallig stelsel werk je niet met machten van $10$, maar met machten van $2$. Elk getal van $0$ tot en met $63$ heeft de volgende vorm: $a_0\cdot 2^0 + a_1\cdot 2^1+a_2\cdot 2^2+a_3\cdot 2^3+a_4\cdot 2^4+a_5\cdot 2^5=a_0+a_1\cdot 2+a_2\cdot 4+a_3\cdot 8+a_4\cdot 16+a_5\cdot 32$, De donkerblauwe kaart bevat alle getallen met $a_0=1$, de rode alle met $a_1=1$, de roze alle met $a_2=1$, de groene alle met $a_3=1$, de zwarte alle met $a_4=1$ en de lichtblauwe alle met $a_5=1$ ($61, 62$ en $63$ zijn weggelaten, opdat de getallen op de kaarten in een tabel van vijf rijen en zes kolommen passen). Alle getallen op dezelfde kaart hebben dus een bepaalde macht van $2$ gemeen. En omdat de getallen per kaart op volgorde van grootte staan, is die gemeenschappelijke macht van $2$ het getal in de linkerbovenhoek. De bevestiging ‘het getal staat op deze kaart’ betekent dus dat het getal linksboven op die kaart meetelt in de som'. En, als ik mijn "wel - niet" etc achterstevoren opschrijf, met wel = $1$ en niet = $0$ dan krijg ik $110110$, en dat is inderdaad precies $54$ in het tweetallig (of binaire) stelsel! |
| Illusionist: | ‘Ik moet er even dieper over nadenken om het te begrijpen, maar bedankt.’ |
