Rood-wit-blauw

Zie onderstaande drie lagen, van onder naar boven, met de gekleurde blokjes. In elk rijtje van drie zitten twee gelijke kleuren. Dus niet de drie kleuren van de Nederlandse vlag.

r r w   r r w   w w b
r b b   r b b   w r r
w b w   w b w   b r b

Drie wijzers over elkaar

Laat $u$ de hoek na $0$ uur aangeven die de kleine wijzer in $t$ seconden heeft afgelegd. Dan geldt: $u = \frac{1}{120}t.$ Dus in een uur of $3600$ seconden $30^{\rm o}.$

Laat $m$ de hoek na $0$ uur aangeven die de grote wijzer in $t$ seconden heeft afgelegd. Dan geldt: $m = \frac{1}{10}t.$ Dus in een uur of $3600$ seconden $360^{\rm o}.$

Laat $s$ de hoek na $0$ uur aangeven die de secondewijzer in $t$ seconden heeft afgelegd. Dan geldt: $s = 6t.$ Dus in een minuut of $60$ seconden $360^{\rm o}.$

Willen ze op één tijdstip dezelfde hoek na $0$ uur hebben, dan moet gelden $(p$ en $q$ geheel$):$

$s - 360p = m - 360q = u.$ De veelvouden $p$ en $q$ van $360$ groeien met $1,$ telkens wanneer de grote en de kleine wijzer $0$ uur passeren.

Dus: $6t - 360p = \frac{1}{10}t - 360q = \frac{1}{120}.$ Dit levert $719t = 120 \times 360p$ en $11t = 120 \times 360q.$ De waarden zijn $p = 719p^*$ en $q = 11q^*$ ($p^*$ en $q^*$ geheel). Dat leidt tot $t = 120 \times 360p^* = 120 \times 360q^*$ seconden, met $p^* = q^*.$ En omdat $120 \times 360 = 12$ uur, is dat opnieuw $0$ of $12$ uur.

Meer tijdstippen zijn er dus niet.

Hoeveel nullen?

De eenvoudigste methode om te tellen is het aantal factoren $5$ in $1000!$ te bepalen. Er zijn voldoende even getallen (met factoren $2$) om van alle $5$-vouden een $10$-voud te maken. Er zijn $1000 : 5 = 200$ $5$-vouden. Maar er zijn nog $1000 : 25 = 40$ $5^2$-vouden die een extra $0$ geven (met een extra factor $2$). Voorts nog $1000 : 125 = 8$ $5^3$-vouden, die nog een extra $0$ geven. Ten slotte is er nog $625,$ of een $5^4$-voud, dat nog een extra $0$ oplevert. In totaal dus $200 + 40 + 8 + 1 = 249$ nullen aan het eind.

Gelijke kleuren

In de ‘rode bak’ zit na het overschenken $6 - a - b$ liter rode vloeistof, $b$ liter witte en $a$ liter blauwe. In de ‘witte’ bak zit $6 - a - b$ liter witte vloeistof, $a$ liter rode vloeistof en $b$ liter blauwe. In de ‘blauwe’ bak zit $6 - a - b$ liter blauwe vloeistof, $a$ liter witte vloeistof en $b$ liter rode. Dan gelden voor de hoeveelheden de volgende verhoudingen:

$(6 - a - b) : b : a = a : (6 - a - b) : b = b : a : (6 - a - b).$ Omdat de hoeveelheden blauwe vloeistof (ook van de andere kleuren) in de bakken gelijk moeten zijn, volgt direct $a=b.$ En dan $6 - 2a = a,$ of $a = b = 2$ liter.

Kubussen maken

Er zijn $10$ mogelijke verschillende combinaties van de blokken $1, 2$ en $3$ waarmee je een kubus van $2\times 2\times 2$ kunt maken: $8 \times 1,$ $4 \times 2,$ $3 \times 2 + 2 \times 1,$ $2 \times 2 + 4 \times 1,$ $1 \times 2 + 6 \times 1,$ $2 \times 3 + 2 \times 1,$ $2 \times 3 + 1 \times 2,$ $1 \times 3 + 5 \times 1,$ $1 \times 3 + 3 \times 1 + 1 \times 2,$ $1 \times 3 + 1 \times 1 + 2 \times 2.$ In totaal dus 52 blokken.