Er zijn vier mutsen en de kabouters zijn met zijn vieren, dus de kerstman kan op $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ verschillende manieren de vier mutsen op de hoofden van de kabouters zetten. Arno, Benno, Carlo en Duco (wiens namen we afkorten met A, B, C en D) kunnen het spel gegarandeerd winnen, maar moeten daarvoor wel bovenstaande tabel uit hun hoofd leren. Maar dat is voor breinkabouters natuurlijk geen enkel probleem.

De tabel bevat alle 24 permutaties van de letters A, B, C en D. De tabel is in tweeën gesplitst; elke helft bevat 12 permutaties. De tabel heeft de volgende belangrijke eigenschap: als je in een permutatie uit de linkerhelft precies twee letters verwisselt, dan staat de resulterende permutatie in de rechterhelft. En als je in een permutatie uit de rechterhelft precies twee letters verwisselt, staat de resulterende permutatie in de linkerhelft. Neem bijvoorbeeld DCBA (in de linkerhelft). Verwissel je de D en de C, dan krijg je CDBA. Verwissel je twee andere letters, dan krijg je BCDA, ACBD, DBCA, DABC of BCAD. De zes permutaties die je kunt verkrijgen, staan allemaal in de rechterhelft.

Welke briljante strategie hebben de kabouters nu uitgedokterd? Elke kabouter neemt aan dat het getal op zijn eigen muts het kleinste is. (Het gaat om gehele getallen, dus de getallen kunnen ook negatief zijn. Ziet bijvoorbeeld Arno een 1 op Benno’s muts, dan kan Arno best een kleiner getal hebben.) Onder deze aanname ordent elke kabouter de vier kabouters zó, dat de getallen op hun mutsen in oplopende grootte staan. Als de verkregen permutatie in de linkerhelft van de tabel staat, steekt de kabouter zijn linkerhand omhoog. En staat de permutatie rechts, dan steekt hij zijn rechterhand omhoog.

Een concreet voorbeeld. Stel A heeft 65, B heeft 23, C heeft 78 en D heeft 42. Volgens de geniaal uitgedokterde strategie van de kabouters krijgt A de permutatie ABDC; die staat rechts. B krijgt BDAC; die staat ook rechts. C krijgt CBDA; die staat links. En D krijgt DBAC; die staat ook links. Dus A en B steken hun rechterhand op, en C en D hun linkerhand. Is dit volgens de spelregels? Ja, want de juiste volgorde is BDAC. En volgens de spelregels van de kerstman moeten de eerste en de derde allebei (B en A dus) de rechter (of linker) hand opsteken, en de tweede en de vierde (D en C) beiden de linker (of rechter) hand.

Waarom werkt deze strategie altijd?

Neem aan dat de vier getallen op de mutsen, van klein naar groot, W, X, Y en Z zijn. De kabouter met de W op zijn muts gebruikt dan de permutatie WXYZ. De kabouter met X gebruikt XWYZ. Die met Y gebruikt YWXZ. En die met Z gebruikt ZWXY.

De tweede permutatie (XWYZ) ontstaat uit de eerste (WXYZ) door de W en de X te verwisselen. Dus als de eerste permutatie links (resp. rechts) staat, staat de tweede permutatie rechts (resp. links). De derde permutatie (YWXZ) ontstaat uit de tweede (XWYZ) door de X en de Y te verwisselen. Dus als de tweede permutatie rechts (resp. links) staat, staat de derde permutatie links (resp. rechts). De vierde permutatie (ZWXY) ontstaat uit de derde (YWXZ) door de Y en de Z te verwisselen. Dus als de derde permutatie links (resp. rechts) staat, staat de vierde permutatie rechts (resp. links). De conclusie is dat de kabouters met W en Y hoe dan ook dezelfde hand zullen opsteken, en dat de kabouters met X en Z beiden de andere hand zullen opsteken.

Deze oplossing is ontleend aan de oplossing op de Duitse website van de Mathekalender (http://www.mathekalender.de).