Mutsen & getallen
De hele decembermaand organiseren de universiteiten van Delft, Eindhoven, Twente en Wageningen samen met het Duitse wiskunde-instituut Matheon voor de zevende keer een wiskundewedstrijd voor scholieren in de vorm van een digitale adventskalender: de Mathekalender. Als voorproefje geven we een prachtig kabouterraadsel, bedacht door Aart Blokhuis en Gerhard Woeginger van de TU Eindhoven, uit de kalender van vorig jaar.
Op een dag in december treft de kerstman de briljante breinkabouters Arno, Benno, Carlo en Duco en zegt: ‘Allerbeste breinkabouters! Zoals jullie weten, is er een lange en mooie traditie van moeilijke breinbrekers over kabouters met mutsen in de wiskundige adventskalender. Ik wil jullie daarom voor morgen graag uitnodigen voor een gezellige middag met koffie en gebak.’
‘Mooi, we komen graag!’, antwoorden Arno, Benno, Carlo en Duco onmiddellijk.
‘Prachtig’, gaat de kerstman verder. ‘Vanavond borduur ik op vier kaboutermutsen vier verschillende gehele getallen. Morgenmiddag zet ik dan bij elk van jullie, bliksemsnel en van achteren, een van deze mutsen op, en wel zo, dat geen van jullie het getal op zijn eigen muts zien kan. Jullie kunnen natuurlijk wel de getallen zien op de andere drie mutsen, maar mogen hier onderling op geen enkele manier iets over laten merken. Daarna krijgen jullie een blinddoek voor, en dan moet ieder van jullie óf zijn rechter- óf zijn linkerhand opsteken. Jullie winnen het spel alleen, als twee van jullie de linkerhand, en twee de rechterhand opsteken.’
‘Ha!’, interrumpeert Arno de kerstman. ‘Dat is te makkelijk: Benno en ik steken onze rechterhand op, en Carlo en Duco hun linkerhand. Dan hebben we gewonnen.’
De kerstman verzucht: ‘Val me niet meteen in de rede Arno, ik was nog niet klaar. Bovendien moeten de kabouters met het kleinste en het op twee na kleinste getal op hun muts, ofwel allebei de rechterhand, ofwel allebei de linkerhand opsteken. Alleen dan hebben jullie gewonnen. Mooi, nu ben ik uitgepraat. Zijn er nog vragen?’
Benno zegt: ‘Er zijn vier mutsen en we zijn met zijn vieren, dus er zijn $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ mogelijkheden om ons de vier mutsen op te zetten.’ De kerstman beaamt dat.
Dan vraagt Carlo: ‘Als ik bijvoorbeeld op de andere mutsen de getallen 25, 376 en 1024 zie, moet ik dan mijn linker- of mijn rechterhand opsteken? En wat moet ik doen bij de getallen 377, 801 en 15222?’
‘Tsja, dat moeten jullie onder elkaar maar uitmaken,’ is het antwoord van de kerstman.
En dat doen de kabouters dan ook. Ze beraadslagen en denken na. Ze denken na en beraadslagen. Dan beraadslagen ze nog meer, en denken nog langer na. Maar uiteindelijk werken ze een waarlijk briljante strategie uit (het zijn tenslotte niet voor niets de breinkabouters), waarmee ze het spel gegarandeerd kunnen winnen. De vraag is natuurlijk: wat is die strategie?
Bekijk oplossing
