De opgave Plaats $1, 1, 2, 2, 3, 3, \dots, n, n$ zodat voor elk getal $k$ geldt dat $k$ en $k$ op afstand $k$ van elkaar staan.

We schreven de vorige keer een Python-programma. Toen bleek dat er voor $2, 3, 6$ en $7$ geen oplossingen waren. Dat gaan we hieronder bewijzen. We bewijzen het zelfs algemener: voor geen enkel viervoud plus $2$ of plus $3$ is er een Skolemrij te construeren. 

Stel dat we wel een oplossing hebben, zeg, $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2n}$. We weten natuurlijk niet waar $1, 2, 3, \dots, n$ worden geplaatst, maar wat we wel weten is dat $1, 2, 3, \dots, n$ precies tweemaal worden geplaatst en dat na de eerste één $1$ verder nog een één staat. Evenzo voor $2, 3, 4, …, n$.

Stel dat de eerste één op plaats $k_1$ staat, dan staat de tweede één op plaats $k_1+1$, Evenzo staan de tweeën op plaatsen $k_2$ en $k_2+2$, etc. Verder komen $k_1, k_1+1, k_2, k_2+2, \dots, k_n, k_n+n$ precies overeen met de plaatsen $1, 2, 3, \dots, 2n$. Nu nemen we de sommen:

$k_1+k_1+1+k_2+k_2+2+k_3+k_3+3+\cdots+k_n+k_n+n=1+2+3+4+\cdots+2n$.

Ofwel

$2(k_1 + k_2 + k_3 + \cdots + k_n) + 1 + 2 + 3 + \cdots + n = 1 + 2 + 3 + 4 + ··· + 2n$.

Als deze vergelijking geldt, dan moet ook gelden dat beide zijden of even of oneven zijn. De gemakkelijkste zijde om te bekijken is de rechter zijde. $2, 4, 6, \dots, 2n$ zijn allemaal even. $1, 3, 5, 7, \dots, 2n - 1$ zijn oneven. Het aantal oneven getallen is precies $n$. Het rechterlid is even als $n$ even is, en oneven als $n$ oneven is. 

Het linkerlid is iets ingewikkelder. $2(k_1 + k_2 + k_3 + \cdots + k_n)$ is altijd even, ongeacht de keuze van $k_1, k_2, \dots, k_n$. Wat kunnen we zeggen over $1 + 2 + 3 + \cdots + n$? $1$ en $1 + 2$ zijn oneven, terwijl $1 + 2 + 3$ en $1 + 2 + 3 + 4$ even zijn. En daarna herhaalt het patroon zich.

Dus:

• als $n$ een viervoud is, dan is de som even;
• als $n$ een viervoud plus $1$ is, dan is de som oneven;
• als $n$ een viervoud plus $2$ is, dan is de som oneven;
• als $n$ een viervoud plus $3$ is, dan is de som even. 

Nu moet gelden dat zowel de som aan de linkerzijde en aan de rechterzijde allebei even hetzij oneven zijn.

Uit onderstaande tabel kunnen we concluderen dat Skolem alleen een oplossing kan hebben als n een viervoud of een viervoud plus $1$ is.

$\color{white}{voorwaarde\ n}$	$\color{white}{linkerzijde}$	$\color{white}{rechterzijde}$
$n$ is een viervoud	even	even
$n$ is een viervoud plus 1	oneven	oneven
$n$ is een viervoud plus 2	oneven	even
$n$ is een viervoud plus 3	even	oneven

Ander deel van het bewijs

We hebben nu gezien dat er voor viervouden plus $2$ en viervouden plus $3$ geen oplossingen zijn. Maar dat betekent nog niet dat er altijd oplossingen zijn als $n$ een viervoud of een viervoud plus $1$ is. Daarvoor verwijzen we naar twee algemene oplossingen die Skolem zelf bedacht:

Geval N is een viervoud

We schrijven $n = 4m$. We laten zien dat voor $r \in \{1,2,3,\dots,4m\}$ er een $k_r$ is zodat zowel $k_r$ als $k_r+r$ in de Skolemrij zitten. 

$r$	$k_r,k_r+r$
$1$	$m,m+1$
$\{2,4,6, \dots, 4m\}$	$6m-\tfrac{r}{2}, 6m+\tfrac{r}{2}$
$\{3,5,7, \dots, 2m-3\}$	$2m-\frac{r+1}{2},2m+\frac{r-1}{2}$
$2m-1$	$2m,4m-1$
$\{2m+1,2m+3,2m+5,\dots, 4m-3\}$	$2m-\frac{r+1}{2},2m+\frac{r-1}{2}$
$4m-1$	$2m+1,6m$

Geval N is een viervoud plus 1

We schrijven $n = 4m+1$. We laten zien dat voor $r \in \{1,2,3,\dots,4m+ 1\}$ er een $k_r$ is zodat zowel $k_r$ als $k_r+r$ in de Skolemrij zitten.

$r$	$k_r,k_r+r$
$1$	$m,m+1$
$\{2,4,6, \dots, 4m\}$	$6m+2-\tfrac{r}{2}, 6m+2+\tfrac{r}{2}$
$\{3,5,7, \dots, 2m-3\}$	$2m-\frac{r-3}{2},2m+\frac{r+3}{2}$
$2m-1$	$2m,4m-1$
$\{2m+1,2m+3,2m+5,\dots, 4m-3\}$	$2m-\frac{r-1}{2},2m+\frac{r+1}{2}$
$4m-1$	$2m+1,6m$