Een paar munten ieder

Na de eerste twee keer geven van Amanda en Boris heeft Amanda $1$ cent meer. Na de vierde keer $2$ cent meer. Enzovoort. Na de twaalfde keer heeft ze dus $6$ cent meer. Dan heeft ze er dus $13$ en is ze gestart met $7$ cent. En Boris dus ook. Het kleinste aantal munten van beiden samen is zeven: Amanda heeft vier munten: $1, 2, 2, 2$ en Boris drie munten: $1,1,5.$ Als notatie nemen we: $(1222,115).$ Dan gaat het als volgt verder: $(222,1115),$ $(11222,15),$ $(122,1125),$ $(111222,5),$ $(22,11125),$ $(1225,112),$ $(12,11225),$ $(11225,12),$ $(11,12225),$ $(111225,2),$ $(1,112225),$ $(112225,1),$ $(0,1112225).$

Met minder muntjes, bijvoorbeeld $(115,115),$ loopt het mis: $(15,1115),$ $(1115,15),$ $(5,11115),$ $(11115,5),$ $(1111,55)$ en Boris kan geen $6$ cent teruggeven.

Twee verschillende vierkanten

Zie de figuur. Je hebt slechts één stukje van $3 \mbox{ cm} \times 5 \mbox{ cm}$ gepakt.

$11 \times (2 \times 3) + 1 \times (3 \times 5) = 9 \times 9 = 81$
$24 \times (2 \times 3) = 12 \times 12 = 144$

Haalt de mier de eindstreep?

Noem de gezochte lengte $L$ (cm) en de snelheid van de mier $v$ (cm/min). Dan legt de mier in de eerste minuut $v$ cm af. Na de verdubbeling is de lengte van de band $2L,$ is de mier op $2v$ van het begin en loopt hij tot $3v.$ Na de verkorting is de lengte $2L/3,$ is de mier op $v$ en loopt hij tot $2v.$ Na de laatste verlenging is de lengte $8L/3,$ is de mier op $8v$ en eindigt op $9v.$ Als hij dan aan het einde is, geldt: $8L/3 = 9v.$ Met $v = 8$ cm/min hebben we $L = 27$ cm.

Grote dobbelsteen

1. Als je de acht dobbelstenen in gelijke stand naast en op elkaar zet, krijg je inderdaad een grote dobbelsteen met $4, 8, 12, 16, 20$ en $24$ op de zes kanten.
2. Het maximum van de zes vlakken bij elkaar is:
   $2 \times 4 \times 6 + 2 \times 4 \times 5 + 2 \times (2 \times 3 + 2 \times 4) = 116$
3. Het minimum is $2 \times 4 \times 1 + 2 \times 4 \times 2 + 2 \times (2 \times 3 + 2 \times 4) = 52.$

Som van Ali, Jos en Wim

    1 2 3
    4 5 6
    ----- x
    7 3 8
  6 1 5 0
4 9 2 0 0
--------- +
5 6 0 8 8