SymMetrisChE vergelIJkiNgen

1. De volgende twee oplossingen zijn mogelijk: 
   $a = b = c = d = 2$ en $a = 5, b = 1, c = 2$ en $d = 3$ (met enkele verwisselingen).
2. Met $a = 0$ hebben we oneindig veel oplossingen
   $a = 0, b = -p^2, c = p, d = -p$, met $p$ een willekeurig getal.

TWeE kEer rond?

Er zijn $2^5 = 32$ mogelijkheden om vijf keer een halve baan te lopen. De mogelijkheden waarin er twee keer een volledige ronde in twee halve rondes achter elkaar wordt gelopen, met beide volledige rondes in dezelfde richting, zijn: LRLRR, LRLRL, LRRLR, LRLLR, RLRLR, LLRLR, RLRLL, RLRRL, RLLRL, RRLRL. Dat zijn er $10$.

Dus de kans is $\frac{10}{32} = \frac{5}{16}$.

Eén van de gewiChten is 1

Noem de gewichtjes $p$, $q$, $r$ en $s$.
Dan gelden:

$(p + 2q)/3 = p - 10$
$(p + 2q + 3r)/6 = p - 20$
$(p + 2q + 3r + 4s)/10 = p$

Daaruit volgt:

$q = p - 15$
$r = p - 30$
$s = p + 30$

Alleen $r = 1$ is mogelijk. 

Dan is $r = 1, p = 31, q = 16$ en $s = 61$.

Hoe grOot is het vierkant?

Er geldt: $A = \frac12 a^2$. En $B = (z - a)z - \frac12 (z - a)^2 = \frac12 z^2 - A$.
Dus $\frac12 z^2 = A + B = 18$, met $z = 6$.

Één in het midDen

Noem de som van de vier drietallen $s$. Optellen van de vier drietallen levert een viervoud $4s$ op. Merk op dat de $1, b$ en $c$ in die optelling dubbel voorkomen en dat $a + b + ⋯ + g + h = 44$.

Dus:
$a + 2b + 2 + 2c + d + e + f + g + h = 44 + 2 + b + c = 46 + b + c = 4s.$

Dus: 
$b + c = 2, 6, 10, 14, 18$. De kleinste en grootste kunnen niet, want dan zou gelden $b = c = 1$ of $b = c = 9$. Voor $b + c = 6$ geldt $s = 13$ en zijn er twee mogelijkheden: $b = 1, c = 5$, niet mogelijk, omdat er al een $1$ is, en $b = 2, c = 3$, niet mogelijk, omdat dan $a = 10$. Zo vallen er nog meer mogelijkheden af, op één na: $b = 4, c = 6$ en $s = 14$. Nu leidt $b = 4$ direct tot $a = 9$ en $c = 6$ tot $d = 7$. Dan blijven $2, 3, 5$ en $8$ over. Dat levert $e = 2, f =8, g =3$ en $h = 5$.

Verwisselingen zijn natuurlijk mogelijk, maar die leveren geen 'nieuwe' oplossingen.